Question

Найти точку минимума функции y= x(^2)e(^x)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y= x²eˣ ;      D (y) = R ;

y ' = 2xeˣ + x²eˣ = x eˣ ( 2 + x ) ;

y ' =  x eˣ ( 2 + x ) ;

y ' = 0 ;     x eˣ ( 2 + x ) = 0 ;

              x₁ = 0 ;           x₂ = - 2 ;

         +               _               +    

----------------*---------------*------------------->   x

               - 2                 0

y' (-3 ) > 0  ;         y' ( - 1 ) < 0 ;      y' ( 1 ) > 0  .

x = 0 -  точка  min  функції ;    у ( 0 ) = 0² * e⁰ = 0 .  ( 0 ; 0 ) - точка екстремуму функції .

Answer 2

Чтобы найти точку минимума функции y = x^2 * e^x, мы должны найти производные и приравнять их к нулю, затем решить полученное уравнение.

1. Начнем с нахождения производных функции:

y = x^2 * e^x

Для нахождения первой производной y'(x), используем произведение функций (производное произведения равно произведению производных):

y'(x) = (x^2)' * e^x + x^2 * (e^x)'

Для нахождения производных каждой из составляющих функций:

(x^2)' = 2x (e^x)' = e^x

Теперь мы можем записать производную y'(x):

y'(x) = 2x * e^x + x^2 * e^x

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2x * e^x + x^2 * e^x = 0

Мы видим, что обе части уравнения содержат общий множитель e^x, который не может быть равен нулю (так как экспоненциальная функция никогда не равна нулю), поэтому мы можем сократить e^x:

2x + x^2 = 0

3. Теперь решим это квадратное уравнение:

x^2 + 2x = 0

x(x + 2) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения x:

1. x = 0
2. x = -2

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y в точках минимума, подставим их обратно в исходную функцию:

1. Для x = 0: y(0) = 0^2 * e^0 = 0 * 1 = 0

2. Для x = -2: y(-2) = (-2)^2 * e^(-2) = 4 * (1/e^2) ≈ 4 * 0.1353 ≈ 0.5413

Итак, у нас есть две точки, где функция может иметь минимум:

1. (0, 0)
2. (-2, 0.5413)

Обратите внимание, что для точки (-2, 0.5413) необходимо проверить, является ли это точкой минимума или максимума, например, с помощью второй производной теста.