Question

найдите все значения параметра а для каждого из которых уравнение 9^x+(a-9)3^x=(5+2|a-1|)3^x+(a-9)(5+2|a-1|) имеет единственное решение

Answer 1

Ответ:

$\{-2;2\}\cup[9;+\infty)$

Пошаговое объяснение:

Пусть $3^x=t>0$. Показательная функция — монотонно возрастающая, поэтому на количестве корней эта замена не сказывается (кроме t ≤ 0). Тогда

$t^2+(a-9)t=(5+2|a-1|)t+(a-9)(5+2|a-1|)\\t(t+a-9)-(5+2|a-1|)(t+a-9)=0\\(t+a-9)(t-(5+2|a-1|))=0\\\displaystyle \left [ {{t=9-a} \atop {t=2|a-1|+5}} \right.$

Заметим, что второй корень всегда положителен, то есть как минимум один корень у этого уравнения есть. Тогда другой корень должен быть либо неположительным, либо совпасть с первым.

В первом случае $9-a\leq 0\Leftrightarrow a\geq 9$.

Во втором случае $9-a=2|a-1|+5$

Если a ≥ 1, то $9-a=2a-2+5\Leftrightarrow 3a=6\Leftrightarrow a=2\geq 1$

Если a < 1, то $9-a=2-2a+5\Leftrightarrow a=-2$

Таким образом, $a\in\{-2;2\}\cup[9;+\infty)$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и попробуем найти значения параметра "а", для которых оно имеет единственное решение. Уравнение:

9^x + (a - 9)3^x = (5 + 2|a - 1|)3^x + (a - 9)(5 + 2|a - 1|)

Давайте преобразуем его:

9^x - (5 + 2|a - 1|)3^x = 0

Теперь мы видим, что это квадратное уравнение относительно 3^x. Для того чтобы у него было единственное решение, дискриминант должен быть равен нулю:

D = 0

D = (5 + 2|a - 1|)^2 - 4 * 9^x * 1 = 0

Решим это уравнение относительно "a". Заметим, что a и |a - 1| имеют разные значения в зависимости от значения "a":

Если a >= 1, то |a - 1| = a - 1 Если a < 1, то |a - 1| = 1 - a

Теперь подставим это в уравнение для D и решим его:

(5 + 2(a - 1))^2 - 4 * 9^x * 1 = 0

(5 + 2a - 2)^2 - 4 * 9^x = 0

(2a + 3)^2 - 4 * 3^2 * 3^x = 0

(2a + 3)^2 - 36 * 3^x = 0

(2a + 3)^2 = 36 * 3^x

2a + 3 = ±6 * 3^(x/2)

2a = -3 ± 6 * 3^(x/2) - 3

a = -3/2 ± 3 * 3^(x/2) - 3/2

Теперь у нас есть два значения "a", для которых уравнение имеет единственное решение:

1. a = -3/2 + 3 * 3^(x/2) - 3/2
2. a = -3/2 - 3 * 3^(x/2) - 3/2

Здесь "x" может принимать любые вещественные значения.