Question

При каком значении K являются полным квадратом квадратные трехчлены: 1)4x^2-kxy-y^22)kx^2-4xy+y^23)4x^2-12xy+ky^2?​

Answer 1

1) 4x^2-kxy-y^2 Действительного k не существует. В самом деле при х=0 выражение принимает отрицательные значения при любом k.

2)  k=4 выражение становится (2х-у)^2

3)  k=9

Выражение становится   равно : (2х-3у)^2

Answer 2

Чтобы определить, при каком значении K квадратные трехчлены становятся полными квадратами, нужно воспользоваться методом завершения квадрата для квадратных трехчленов вида ax^2 + bxy + cy^2.

1. Для 4x^2 - kxy - y^2: Чтобы сделать его полным квадратом, нужно дополнить к нему соответствующий квадратный трехчлен. Для этого сначала найдем половину коэффициента при xy, то есть b/2. В данном случае, b = -k, поэтому b/2 = -k/2.

   Затем добавим этот квадратный трехчлен (b/2)^2 к исходному трехчлену и выразим K: 4x^2 - kxy - y^2 + (-k/2)^2 = 4x^2 - kxy + k^2/4

   Теперь этот трехчлен является полным квадратом, и он равен 4x^2 - kxy + k^2/4. Сравниваем его с исходным трехчленом: 4x^2 - kxy + k^2/4 = 4x^2 - kxy - y^2

   Теперь мы видим, что k^2/4 = y^2, отсюда k^2 = 4y^2.

2. Для kx^2 - 4xy + y^2: Аналогично, чтобы сделать этот трехчлен полным квадратом, найдем половину коэффициента при xy, то есть b/2. В данном случае, b = -4, поэтому b/2 = -2.

   Добавляем этот квадратный трехчлен (b/2)^2 к исходному трехчлену и выразим K: kx^2 - 4xy + y^2 + (-2)^2 = kx^2 - 4xy + 4

   Теперь этот трехчлен является полным квадратом, и он равен kx^2 - 4xy + 4. Сравниваем его с исходным трехчленом: kx^2 - 4xy + 4 = kx^2 - 4xy + y^2

   Теперь мы видим, что 4 = y^2, отсюда y^2 = 4.

3. Для 4x^2 - 12xy + ky^2: Аналогично, чтобы сделать этот трехчлен полным квадратом, найдем половину коэффициента при xy, то есть b/2. В данном случае, b = -12, поэтому b/2 = -6.

   Добавляем этот квадратный трехчлен (b/2)^2 к исходному трехчлену и выразим K: 4x^2 - 12xy + ky^2 + (-6)^2 = 4x^2 - 12xy + 36

   Теперь этот трехчлен является полным квадратом, и он равен 4x^2 - 12xy + 36. Сравниваем его с исходным трехчленом: 4x^2 - 12xy + 36 = 4x^2 - 12xy + ky^2

   Теперь мы видим, что 36 = ky^2, отсюда ky^2 = 36.

Итак, для каждого трехчлена K имеет следующие значения:

1. k^2 = 4y^2
2. y^2 = 4
3. ky^2 = 36

Выразим K для каждого случая:

1. k^2 = 4y^2 k^2 = 4 * 4 k^2 = 16 k = ±4

2. y^2 = 4 y^2 = 4 y = ±2

3. ky^2 = 36 k * 4 = 36 k = 36 / 4 k = 9

Таким образом, значения K, при которых данные трехчлены становятся полными квадратами, следующие:

1. k = ±4
2. y = ±2
3. k = 9