Question

Решите уравнение sin²2x+cos²4x=1​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

решение уравнения ниже

Answer 2

Для решения данного уравнения нам нужно использовать тригонометрические тождества. Заметим, что уравнение содержит квадраты синусов и косинусов углов, поэтому мы можем воспользоваться следующими тождествами:

1. $\sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x)$
2. $\cos^2(4x) = 1 - \sin^2(4x)$

Теперь мы можем переписать исходное уравнение:

$(1 - \cos^2(2x)) + (1 - \sin^2(4x)) = 1$

Теперь объединим члены и упростим:

$(1 - \cos^2(2x) - \sin^2(4x)) + (1 - \sin^2(4x)) = 1$

Теперь используем тригонометрическое тождество $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$:

$(1 - 1) + (1 - \sin^2(4x)) = 1$

Упрощаем:

$-\sin^2(4x) + 1 = 1$

Теперь выразим $\sin^2(4x)$:

$\sin^2(4x) = 1 - 1 = 0$

Теперь мы имеем $\sin^2(4x) = 0$. Чтобы найти значения $x$, для которых это уравнение выполняется, мы замечаем, что $\sin^2(4x) = 0$ означает, что $\sin(4x) = 0$.

Теперь решим $\sin(4x) = 0$:

$\sin(4x) = 0$

Это уравнение имеет бесконечно много решений. Одним из способов найти решения - это использовать значения $4x$ из интервала $[0, 2\pi]$ и умножить их на $\frac{1}{4}$, так как $\sin$ имеет период $2\pi$:

1. $4x = 0 \implies x = 0$
2. $4x = \pi \implies x = \frac{\pi}{4}$
3. $4x = 2\pi \implies x = \frac{\pi}{2}$
4. $4x = 3\pi \implies x = \frac{3\pi}{4}$
5. $4x = 4\pi \implies x = \pi$

И так далее. Решениями исходного уравнения будут все значения $x$, которые мы нашли:

$x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \ldots$

Таким образом, уравнение $\sin^2(2x) + \cos^2(4x) = 1$ имеет бесконечно много решений, которые можно представить как $x = \frac{n\pi}{4}$, где $n$ - целое число.