Question

Решить уравнение sin²x + cos²4x = 2sin³xcos³4x

Answer 1

Из неравенства $|2\sin^3x\cos^34x| \leq 2|\sin x|\cdot |\cos4x| \leq \sin^2x+\cos^24x$ следует, что $\displaystyle \left \{ {{\sin x=1} \atop {\cos 4x=1}} \right.$ или $\displaystyle \left \{ {{\sin x=-1} \atop {\cos 4x=-1}} \right.$

$\sin x=\pm 1\\ x= \pm\frac{\pi}{2} +2 \pi k,k \in Z$

$\cos4x=1\\ 4x= 2 \pi n,n \in Z\\ x= \frac{\pi n}{2} ,n \in Z$

$\cos 4x=-1\\ x= \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2},n \in Z$

Подходит больше всего корень $x=\frac{\pi}{2} +2 \pi k,k \in Z$

Ответ: $\frac{\pi}{2} +2 \pi k,k \in Z$

Answer 2

Для начала преобразуем уравнение sin²x + cos²4x = 2sin³xcos³4x, используя тригонометрические тождества:

sin²x + (1 - sin²4x) = 2sin³x(1 - sin²4x) sin²x + 1 - sin²4x = 2sin³x - 2sin⁵x

Теперь преобразуем это уравнение к виду, удобному для решения:

sin²x + 1 - sin²4x = 2sin³x - 2sin⁵x 1 - sin²x - sin²4x = 2sin³x - 2sin⁵x 1 - sin²x - (1 - cos²4x) = 2sin³x - 2sin⁵x 1 - sin²x - 1 + cos²4x = 2sin³x - 2sin⁵x -cos²x + cos²4x = 2sin³x - 2sin⁵x

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы выразить sin и cos через друг друга, и решить уравнение. После преобразований получаем:

-cos²x + (1 - sin²x) = 2sin³x - 2sin⁵x 1 - cos²x - sin²x = 2sin³x - 2sin⁵x

Теперь мы можем использовать тождество sin²x + cos²x = 1 для преобразования уравнения:

1 - 1 = 2sin³x - 2sin⁵x 0 = 2sin³x - 2sin⁵x 0 = 2sin³x(1 - sin²x)

Отсюда мы получаем два решения: sin³x = 0 и sin²x = 1.

Таким образом, уравнение sin²x + cos²4x = 2sin³xcos³4x имеет два решения: sin³x = 0 и sin²x = 1.