Question

1 вопрос по мат анализу. В Вики написано что в 1649 году Грегуар-Сен-Венсан показал что площадь под графиком (1/х) меняется по логарифмическому закону.Это произошло до основания Ньютоном анализа бесконечно малых, и тем более до исследования числа e.Я искал информацию в интернете как можно было догадаться до этого не используя математический анализ но ничего не нашел. Необходимо без использования глубокого математического анализа доказать что площадь под графиком 1/x меняется по логарифмическому закону.

Answer 1

Ответ: см фото.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Доказать, что площадь под графиком функции $f(x) = \frac{1}{x}$ меняется по логарифмическому закону, можно сделать с использованием интуитивных рассуждений и графического представления. Важно отметить, что это не строгое математическое доказательство, но скорее интуитивное объяснение.

Итак, представьте себе график функции $f(x) = \frac{1}{x}$. Эта функция описывает гиперболу, которая приближается к координатной оси $x$ и $y$ по мере увеличения $x$.

1. Рассмотрим область под кривой $y = \frac{1}{x}$ между двумя вертикальными линиями, например, между $x = 1$ и $x = 2$.

2. Разделим этот интервал $x$ на несколько равных частей, например, $x_1 = 1$, $x_2 = 1.5$, и $x_3 = 2$.

3. Теперь найдем площади прямоугольников, ограниченных графиком $y = \frac{1}{x}$, вертикальными линиями $x = x_i$ и координатными осями. Площадь каждого такого прямоугольника будет приближенно равна $x_i \cdot \frac{1}{x_i} = 1$.

4. Суммируя эти площади прямоугольников для всех $x_i$ на заданном интервале, мы получим приближенную площадь под графиком функции между $x = 1$ и $x = 2$. В данном случае, это будет равно сумме $1$ и $1$ или $2$.

5. Повторяя этот процесс для интервалов $x = 2$ до $x = 3$, $x = 3$ до $x = 4$, и так далее, мы видим, что площадь под графиком функции увеличивается на одинаковую величину с каждым новым интервалом $x$.

6. Это напоминает логарифмическое поведение, где каждый новый интервал прибавляет фиксированную величину к суммарной площади.

Таким образом, мы интуитивно видим, что площадь под графиком $y = \frac{1}{x}$ меняется по логарифмическому закону, поскольку она увеличивается на постоянную величину при изменении интервала $x$. Это объяснение не является формальным математическим доказательством, но оно иллюстрирует логарифмическую природу изменения площади.