Question

В прямоугольной трапеции ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Из точки О проведен перпендикуляр OE к стороне AB. Докажите, что углы CEO и DEO равны.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Дано: ABCD - прямоугольная трапеция

ОЕ⊥АВ

Доказать: ∠СЕО=∠DEO

Доказательство:

1. CB⊥AB; AD⊥AB; OE⊥AB ⇒CB║AD║OE

2. Рассмотрим ΔABD и ΔЕВО

OE║AD

⇒ ΔABD ~ ΔЕВО (лемма о подобных треугольниках)

Составим пропорцию:

$\frac{BE}{AB}=\frac{OE}{AD}\;\;\;(1)$

3. Рассмотрим ΔABС и ΔАЕО

OE║ВС

⇒ ΔABС ~ ΔАЕО (лемма о подобных треугольниках)

Составим пропорцию:

$\frac{OE}{BC}=\frac{AE}{AB}\;\;\;(2)$

4. Выразим из (2) ОЕ и подставим в (1):

$></p> <p>Отсюда получим:</p> <p><img src=$

5. Рассмотрим ΔЕВС и ΔAED - прямоугольные.

∠А=∠В=90°

Стороны пропорциональны (п.4):

$\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AD}$

⇒ ΔЕВС ~ ΔAED

⇒∠BEC=∠AED

6.

∠CEO=90°-∠BEC

∠DEO=90°-∠AED

⇒∠CEO=∠DEO

Answer 2

Для доказательства равенства углов CEO и DEO вам потребуется использовать геометрические свойства трапеции и пересекающихся диагоналей. Давайте рассмотрим следующую последовательность шагов:

1. Рассмотрим трапецию ABCD, в которой AC и BD - диагонали, и они пересекаются в точке O.

2. Поскольку AE и EC являются высотами трапеции ABCD, они перпендикулярны боковым сторонам AB и CD. То есть, угол CEA и угол CEB прямые углы.

3. Также у нас есть диагонали AC и BD, пересекающиеся в точке O. По свойству диагоналей в четырёхугольнике ABCD, угол AOC равен углу BOD.

4. Теперь рассмотрим треугольники AEO и BEO. У них общая сторона EO, а также два прямых угла - угол CEA и угол AOC. Таким образом, треугольники AEO и BEO подобны (по двум углам).

5. Поскольку треугольники AEO и BEO подобны, соответствующие углы при равных пропорциональных сторонах равны. Так как EO общая сторона, углы CEO и DEO равны.

Таким образом, углы CEO и DEO равны, и это было доказано.