Question

Розв'яжіть нерівность (x-17)(x+5)≤4x²-76​

Answer 1

Ответ:

................................................................

Answer 2

Ответ:

(-∞;-3] ; [-1;+∞)

Пошаговое объяснение:

(x-17)(x+5)≤4x²-76​

x²-17х+5х-85-4x²+76​≤0

-3x²-12х-9≤0

Разделим почленно на -3, поменяв при этом знак неравенства на противоположный

x²+4х+3≥0

Раскладываем на множители x²+4х+3 , предварительно найдя корни соответствующего квадратного уравнения x²+4х+3=0 х₁=-1, х₂=-3

(х+1)*(х+3)≥0

Числа  х₁=-1, х₂=-3 разбивают числовую прямую на три промежутка и знаки определяются по знаку старшего для  x²+4х+3, те +-+, поэтому ответом будет промежутки  (-∞;-3] ; [-1;+∞)

Answer 3

Щоб розв'язати дану нерівність, спростимо її та знайдемо корені:

1. Розгорнемо обидві сторони нерівності: (x - 17)(x + 5) ≤ 4x² - 76

2. Розгорнемо ліву частину нерівності: x² - 12x - 85 ≤ 4x² - 76

3. Перенесемо все на одну сторону нерівності: x² - 12x - 85 - 4x² + 76 ≤ 0

4. Об'єднаємо подібні члени: -3x² - 12x - 9 ≤ 0

5. Поділимо обидві сторони на -1 (перевернемо нерівність через помноження на -1): 3x² + 12x + 9 ≥ 0

6. Зараз нам потрібно знайти корені квадратного рівняння 3x² + 12x + 9 = 0. Для цього розв'яжемо це рівняння за допомогою квадратного трену:

   D = (12)² - 4 * 3 * 9 = 144 - 108 = 36

   x₁ = (-12 + √36) / (2 * 3) = (-12 + 6) / 6 = -1 x₂ = (-12 - √36) / (2 * 3) = (-12 - 6) / 6 = -3

7. Тепер ми знаємо, що корені квадратного рівняння -1 та -3. Ці точки ділять вісь x на три інтервали: (-∞, -3), (-3, -1), і (-1, ∞).

8. Далі, виберемо по одній точці з кожного інтервалу і підставимо їх в оригінальну нерівність 3x² + 12x + 9 ≥ 0, щоб визначити знак виразу в кожному інтервалі. Візьмемо точку -4 для інтервалу (-∞, -3):

   3(-4)² + 12(-4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0

   Точка -4 знаходиться в інтервалі (-∞, -3), і вираз 3x² + 12x + 9 більше за 0 на цьому інтервалі.

9. Тепер візьмемо точку -2 для інтервалу (-3, -1):

   3(-2)² + 12(-2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0

   Точка -2 знаходиться в інтервалі (-3, -1), і вираз 3x² + 12x + 9 менше за 0 на цьому інтервалі.

10. Нарешті, візьмемо точку 0 для інтервалу (-1, ∞):

3(0)² + 12(0) + 9 = 0 + 0 + 9 = 9 > 0

Точка 0 знаходиться в інтервалі (-1, ∞), і вираз 3x² + 12x + 9 більше за 0 на цьому інтервалі.

11. Тепер ми знаємо, що вираз 3x² + 12x + 9 більше за 0 на інтервалах (-∞, -3) та (-1, ∞), і менше за 0 на інтервалі (-3, -1).

Отже, розв'язок даної нерівності - це об'єднання інтервалів (-∞, -3) і (-1, ∞). У математичному записі це виглядає так:

x ∈ (-∞, -3) ∪ (-1, ∞)