Question

Помогите пожалуйста!!!! Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается катета AC в точке K. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AK=2, KC=4.

Answer 1

Ответ:

5 ед.

Пошаговое объяснение:

Окружность вписана в треугольник АВС.

К - точка касания катета АС, М - точка касания гипотенузы ВС, точка N  - точка касания катета АВ.

АК=2, КС=4. Тогда катет АС= 4+2=6

По свойству отрезков касательных

СМ=СК=4, КА=KN=2.

Пусть BN=BM=x. Тогда гипотенуза ВС=4 + x, а катет АВ= x + 2.

Составим уравнение, применяя теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$BC^{2} =AC^{2} +AB^{2} ;\\(4+x)^{2} =6^{2} +(2+x)^{2} ;\\16+8x+x^{2} =36+4+4x+x^{2} ;\\8x-4x=40-16;\\4x=24;\\x=24:4;\\x=6$

Тогда гипотенуза ВС=4+6=10.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.

$R=\dfrac{c}{2} ;\\\\R=\dfrac{10}{2}=5$

Answer 2

Здорово, что ты обратился за помощью! Я готов помочь.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, и вписанная в него окружность касается катета AC в точке K. Давай рассмотрим данную ситуацию.

Пусть $r$ - радиус вписанной окружности, $R$ - радиус описанной окружности, а $s$ - полупериметр треугольника ABC.

Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей в прямоугольном треугольнике связаны следующим образом:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

$R = \frac{c}{2}$

где $a$ и $b$ - катеты, а $c$ - гипотенуза треугольника.

В данном случае, $a = AK = 2$, $b = KC = 4$, и треугольник прямоугольный, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения гипотенузы $c$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

$c = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

$r = \frac{2 + 4 - \sqrt{20}}{2}$

$r = \frac{6 - \sqrt{20}}{2}$

$r = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2}$

$r = 3 - \sqrt{5}$

Таким образом, радиус вписанной окружности равен $3 - \sqrt{5}$. Теперь, если нужно, можем найти радиус описанной окружности:

$R = \frac{c}{2}$

$R = \frac{\sqrt{20}}{2}$

$R = \sqrt{5}$

Итак, радиус описанной окружности равен $\sqrt{5}$. Надеюсь, это помогло! Если у тебя есть еще вопросы, спрашивай.