Question

Сколько существует семизначных телефонных номеров (последовательностей цифр от 0 до 9), в которых А) не встречаются цифры 5 и 77 Б) две одинаковые цифры не идут подряд? В) есть хотя бы две одинаковые цифры?

Answer 1

А)

Из 10 цифр мы можем использовать только 8. Каждая из этих 8 цифр может появиться на любом из 7 мест. Тогда, количество допустимых номеров:

$\overline{A_8^7}=8^7=2097152$

Б)

На первое место мы можем записать любую из 10 цифр, на второе - любую, кроме той, что записана на первом месте - это 9 вариантов, аналогично на третье - любую, кроме той, что записана на втором месте - это 9 вариантов, аналогично далее. Тогда, количество допустимых номеров:

$10\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9=5314410$

В)

Количество номеров, в которых есть хотя бы две одинаковые цифры, найдем как разность количества всевозможных номеров и количества номеров, где цифры не повторяются:

$10^7-A_{10}^7=10^7-10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4=10000000-604800=9395200$

Ответ: А) 2097152; Б) 5314410; В) 9395200

Answer 2

Давайте разберемся с каждым из этих вопросов по очереди:

А) Не встречаются цифры 5 и 77: Чтобы номер не содержал цифры 5 и 77, у нас остается 8 возможных цифр (от 0 до 4 и от 6 до 9). Каждая из семи позиций может быть заполнена одной из этих 8 цифр. Поэтому количество таких номеров равно 8 в степени 7 (поскольку у нас есть 7 позиций).

8^7 = 2,097,152

Б) Две одинаковые цифры не идут подряд: Чтобы найти количество номеров, в которых две одинаковые цифры не идут подряд, мы можем использовать метод перебора. Есть несколько способов это сделать, но одним из способов является следующий:

1. Выберем первую цифру, у нас есть 10 вариантов (0-9).
2. Для второй цифры выберем любую из 9 оставшихся, чтобы она была разной от первой.
3. Для каждой следующей цифры (с третьей по седьмую) выберем одну из 9 оставшихся цифр, при условии, что она не совпадает с предыдущей цифрой.
4. Умножьте количество вариантов для каждой позиции.

Итак, количество таких номеров будет:

10 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9 = 425,152,800

В) Есть хотя бы две одинаковые цифры: Для этого случая, давайте найдем сначала количество всех 7-значных номеров (10^7) и вычтем количество номеров из пункта Б (425,152,800).

10^7 - 425,152,800 = 9,957,484,800

Таким образом, существует 9,957,484,800 семизначных телефонных номеров, удовлетворяющих каждому из заданных условий.