Question

Придумать пример непрерывной функции, которая была бы определена на всей действительной оси, принимала рациональные значения в рациональных точках, иррациональные значения в иррациональных точках, и при этом не являлась бы линейной ни на каком промежутке

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle{F(x) = \left \{ {{\cfrac{1}{x+1} - 1 }, x \geq 0 \atop {\cfrac{1}{x-1} + 1}, x < 0} \right. }$

Answer 2

Одним из примеров такой функции может быть следующая кусочно-определенная функция:

1. Для рациональных чисел x вида x = p/q, где p и q - взаимно простые целые числа, определим f(x) = p.
2. Для иррациональных чисел x, определим f(x) = √2.

Эта функция определена на всей действительной оси. В рациональных точках она принимает рациональные значения (p), иррациональные значения (√2) в иррациональных точках. Она не является линейной ни на каком промежутке, так как её значения в рациональных и иррациональных точках отличаются.