Question

Сумма цифр числа, получившегося в результате суммы 1+11+101+1001+10001+...+10...01 (в последнем слагаемом 50 нулей), равна:

Answer 1

Заметим, что в сумме присутствуют числа 1, 11, а также числа с одним нулем, с двумя нулями, и так далее, с 50-ю нулями. Таким образом, в сумме всего записано 52 числа.

Удобно их сложить в столбик:

$\begin{array}{r}\underline {+ \begin{array}{r} 1 \\ 11 \\ 101 \\ 1001 \\ 10001 \\ \ldots \\ 1\underset{50}{\underbrace{0\ldots 0}}1\end{array} }\end{array}$

Отдельно сложим разряды единиц во всех числах и отдельно все остальные разряды.

Так как в разряде единиц во всех числах стоит 1, то сумма всех единиц равна 52.

Какие-либо разряды, кроме единиц, присутствуют в 51 числе. Поэтому, при суммировании всех остальных разрядов получим число, состоящее из 51 единицы.

$\begin{array}{r}\underline {+ \begin{array}{r} 1 \\ 11 \\ 101 \\ 1001 \\ 10001 \\ \ldots \\ 1\underset{50}{\underbrace{0\ldots 0}}1\end{array} }\\\underline {+ \begin{array}{r} 52 \\ \underset{51}{\underbrace{1\ldots 11}}\;\, \end{array} }\end{array}$

Сложим два получившихся числа:

$\begin{array}{r}\underline {+ \begin{array}{r} 1 \\ 11 \\ 101 \\ 1001 \\ 10001 \\ \ldots \\ 1\underset{50}{\underbrace{0\ldots 0}}1\end{array} }\\\underline {+ \begin{array}{r} 52 \\ \underset{51}{\underbrace{1\ldots 11}}\;\, \end{array} }\\{\begin{array}{r} \underset{50}{\underbrace{1\ldots 1}}62\end{array}\end{array}$

Находим сумму цифр числа $\underset{50}{\underbrace{1\ldots 1}}62$:

$1\cdot 50+6+2=50+6+2=58$

Ответ: 58

Answer 2

Чтобы найти сумму всех этих чисел, сначала давайте сгруппируем их по степеням 10:

1 11 101 1001 10001 ...

Как видно, каждое следующее число отличается от предыдущего на 10^n, где n - номер числа (начиная с нуля). Таким образом, каждое число можно выразить следующим образом:

1 + 10 + 100 + 1000 + 10000 + ...

Теперь мы можем найти сумму этой бесконечной геометрической прогрессии, используя формулу суммы геометрической прогрессии:

Сумма = a / (1 - r)

где "a" - первый член последовательности (1), а "r" - знаменатель прогрессии (10).

Сумма = 1 / (1 - 10) = 1 / (-9) = -1/9

Таким образом, сумма всех чисел 1+11+101+1001+10001+... равна -1/9.