Question

Очень прошу помощи!!! Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки M1(−6,7,5) и M2(−12,13,10) перпендикулярно плоскости −8x+y+z−1=0 Уравнение плоскости запишите в виде x+By+Cz+D=0. В ответ через точку с запятой введите значения: B;C;D

Answer 1

Даны точки M1(-6,7,5) и M2(-12,13,10) и  плоскость P: −8x+y+z-1=0.

Решение.

Из уравнения плоскости P, находим ее нормальный         вектор N¯¯=(−8,1,1). Плоскость, перпендикулярная плоскости P, параллельна ее нормальному вектору. Отсюда следует, что можно выбрать точку M3(x,y,z)∈P′  такую, что что M1M3¯¯||N¯¯.

M1M3¯¯=(x+6, y−7, z-5).

Находим также вектор М1М2: (-12-(-6); 13-7; 10-5) = (-6; 6; 5).

Уравнение искомой плоскости находим из векторного произведения.

x+6    y−7     z-5|     x+6     y−7

-6       6         5|        -6        6

-8       1           1|        -8         1   =

= 6(x + 6) - 40(y - 7) -6(z - 5) + 6(y - 7) - 5(x + 6) + 48(z - 5) =

= x + 6 - 34(y - 7) + 42(z - 5) =

= x - 34y + 42z + 34 = 0.

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точки M1(−6,7,5) и M2(−12,13,10) и перпендикулярной плоскости −8x+y+z−1=0, нам нужно найти нормальный вектор этой плоскости.

Первым шагом найдем нормальный вектор к плоскости −8x+y+z−1=0. Коэффициенты x, y и z в этом уравнении задают нормальный вектор этой плоскости. Таким образом, нормальный вектор к плоскости −8x+y+z−1=0 равен (−8, 1, 1).

Теперь, чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точками M1(−6,7,5) и M2(−12,13,10) и перпендикулярной к плоскости с нормальным вектором (−8, 1, 1), мы можем использовать уравнение плоскости в виде:

Ax + By + Cz + D = 0

где (A, B, C) - нормальный вектор к искомой плоскости, который мы хотим найти.

Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскости −8x+y+z−1=0, то их нормальные векторы будут перпендикулярными, что означает, что их скалярное произведение равно 0:

(-8, 1, 1) · (A, B, C) = 0

Это дает нам уравнение:

-8A + B + C = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

1. -8A + B + C = 0
2. A*(-6) + B7 + C5 + D = 0 (поскольку плоскость проходит через M1)

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения A, B, C и D. Сначала выразим A из первого уравнения:

-8A + B + C = 0 -8A = -B - C A = (B + C)/8

Теперь подставим это выражение для A во второе уравнение:

(B + C)/8 * (-6) + B7 + C5 + D = 0

Теперь у нас есть уравнение только с переменными B, C и D:

-3/4 * (B + C) + 7B + 5C + D = 0

Теперь мы можем выразить D:

D = 3/4 * (B + C) - 7B - 5C

Таким образом, значения B, C и D равны:

B = 4 C = -3 D = 3/4 * (4 - 3) - 74 - 5(-3) = 3/4 - 28 + 15 = -49/4 + 15 = -49/4 + 60/4 = 11/4

Итак, искомое уравнение плоскости в виде x + By + Cz + D = 0:

x + 4y - 3z + 11/4 = 0