Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 3x3 - 9x2 + 2 на отрезке [-1;4]. В ответе укажите их сумму.

Answer 1

Ответ:

f(4)=50 максимум

f(-1)=f(2)=-10 минимум

Пошаговое объяснение:

f(4)=3*4^3-9*4^2+2=4^2(12-9)+2=16*3+2=50

f(-1)=-3-9+2=-10

f'(x)=9x^2-18x=0   x1=0 f(0)=2

                             x2=2 f(2)=3*8-9*4+2=24-36+2=-10

f(4)=50 максимум

f(-1)=f(2)=-10 минимум

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 3x^3 - 9x^2 + 2$ на отрезке $[-1;4]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции, вычислив производную и приравняв её к нулю.
2. Определите, какие из этих критических точек находятся на отрезке $[-1;4]$.
3. Вычислите значение функции в найденных критических точках и на границах отрезка.
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения среди этих значений.

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 9x^2 - 18x$.

Затем приравняем $f'(x)$ к нулю и решим уравнение:

$9x^2 - 18x = 0$.

Для упрощения уравнения можно вынести общий множитель:

$9x(x - 2) = 0$.

Отсюда получаем две критические точки:

1. $x = 0$.
2. $x = 2$.

Шаг 2: Определим, какие из этих критических точек находятся на отрезке $[-1;4]$. Обе точки $x = 0$ и $x = 2$ находятся внутри этого отрезка.

Шаг 3: Теперь найдем значения функции в критических точках и на границах отрезка:

• $f(-1)$ (на нижней границе отрезка): $f(-1) = 3(-1)^3 - 9(-1)^2 + 2 = -3 - 9 + 2 = -10$.

• $f(0)$ (критическая точка): $f(0) = 3(0)^3 - 9(0)^2 + 2 = 2$.

• $f(2)$ (критическая точка): $f(2) = 3(2)^3 - 9(2)^2 + 2 = 24 - 36 + 2 = -10$.

• $f(4)$ (на верхней границе отрезка): $f(4) = 3(4)^3 - 9(4)^2 + 2 = 192 - 144 + 2 = 50$.

Шаг 4: Найдем наибольшее и наименьшее значения функции:

Наименьшее значение функции на отрезке $[-1;4]$ равно -10 (достигается в точках x = -1 и x = 2), а наибольшее значение равно 50 (достигается в точке x = 4).

Сумма наибольшего и наименьшего значений функции равна:

$-10 + 50 = 40$.

Итак, сумма наибольшего и наименьшего значений функции $f(x)$ на отрезке $[-1;4]$ равна 40.