Question

Решите уравнение: 2cos^2x - sinx - 1 = 0 В ответе укажите сумму корней (в градусах), принадлежащих промежутку [0;270°].

Answer 1

Ответ:

30°,150° и 270°

Пошаговое объяснение:

Многие бы очень хотели, чтобы косинус был синусом в данном выражении, ведь сразу приходит на ум дискриминант (ну или там теорема виета). На самом деле всё проще.

$2cos^2x-sinx-1=0$

$2cos^2x-1-sinx=0$

Тут мы заметим формулу косинуса 2x, и сразу её применяем

$cos2x-sinx=0$

Теперь снова применяем формулу косинуса 2x, но теперь другую

$cos^2x-sin^2x-sinx=0$

Так как $cos^2x=1-sin^2x$, можно сделать так:

$1-sin^2x-sin^2x-sinx=0$

И в итоге получить обычное квадратное уравнение, только заменим sinx на переменную t

$-2sin^2x-sinx+1=0$

$sinx=t$

$-2t^2-t+1=0$

Решая дискриминантом мы получаем два корня:

$\left \[[ {{t=0.5} \atop {t=-1}} \right.$

И тут заменяем t на sinx

$\left \[[ {{sinx=0.5} \atop {sinx=-1}} \right.$

И получаем два ответа:

$x=(-1)^k*\frac{\pi}{6}+k\pi$, где k=Z

и

$x=-\frac{\pi}{2}+2n\pi$, где n=Z

Осталось только найти корни принадлежащие промежутку и перевести их все в градусы

Получилось 3 корня:

30°,150° и 270°

Answer 2

Давайте решим уравнение 2cos^2(x) - sin(x) - 1 = 0.

Сначала заметим, что мы можем переписать sin(x) в виде 1 - cos^2(x) (пользуясь тригонометрическим тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1).

Теперь у нас есть уравнение:

2cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) - 1 = 0

Упростим это уравнение:

2cos^2(x) - 1 + cos^2(x) - 1 = 0

3cos^2(x) - 2 = 0

Теперь выразим cos^2(x):

cos^2(x) = 2/3

Чтобы найти значения x, возьмем квадратный корень с обеих сторон:

cos(x) = ±√(2/3)

Теперь найдем значения x, удовлетворяющие этому уравнению, в интервале [0;270°].

cos(x) положителен на первом и втором квадрантах, и отрицателен на третьем и четвертом квадрантах.

1. Первый квадрант: 0° ≤ x ≤ 90° x = arccos(√(2/3)) ≈ 35.26°

2. Второй квадрант: 90° < x ≤ 180° Во втором квадранте cos(x) тоже положителен, поэтому мы можем использовать то же значение: x = 180° - 35.26° = 144.74°

Итак, у нас есть два корня, принадлежащих промежутку [0;270°]:

x₁ = 35.26° x₂ = 144.74°

Сумма этих корней:

35.26° + 144.74° = 180°

Сумма корней, принадлежащих промежутку [0;270°], равна 180°.