Question

сумма 3-х первых членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 189,найдите первый член и знаменатель прогрессии

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна 21: b₁+b₂+b₃=21, а сумма квадратов трёх первых членов равна 189: b₁²+b₂²+b₃²=189. Нужно использовать формулу n-ного члена геометрической прогрессии: таким образом можно уменьшить количество неизвестных, чтобы впоследствии составить систему уравнений.

В случае с суммой это: b₁(1-q³)/(1-q)=21, а в случае с произведением это b₁²+b₁²q²+b₁²q⁴=189. Из этих двух уравнений составляем систему и решаем ее:

b₁(1-q³)/(1-q)=21,

b₁²+b₁²q²+b₁²q⁴=189;

b₁(1+q+q²)=21,

b₁²(1 +q²+q⁴)=189.

Разложим выражение 1+q²+q⁴ на (1-q+q²)(1+q+q²).

Можно поделить второе уравнение на первое:

(b₁²(1+q²+q⁴))/(b₁(1+q+q²))=189/21;

(b₁²(1-q+q²)(1+q+q²))/(b₁(1+q+q²))=189/21;

b₁(1-q+q²)=9.

Теперь составим систему из b₁(1+q+q²)=21 и b₁(1-q+q²)=9.

Из первого уравнения выразим b₁, и подставим во второе:

b₁=21/(1+q+q²) подставим во второе: 21×(1-q+q²)/(1+q+q²)=9.

Теперь решим это уравнение:

21-21q+21q²-9-9q-9q²=0;

12q²-30q+12=0;

2q²-5q+2=0;

D=25-4×2×2=25-16=9=3²;

q₁=(5-3)÷4=0,5;

q₂=(5+3)÷4=2.

Знаменатели найдены, осталось найти только первые члены. Если q=0,5, то b₁=21/(1+0,5+(0,5)²)=12; а если q=2, то b₁=21/(1+2+2²)=3.

Ответ: b₁=12, q=0,5 или b₁=3, q=2.

Answer 3

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как "a" и знаменатель как "q".

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна: S3 = a + aq + aq^2

А сумма квадратов первых трех членов равна: S3_sq = a^2 + (aq)^2 + (aq^2)^2

У нас есть два уравнения:

1. a + aq + aq^2 = 21
2. a^2 + a^2q^2 + a^2q^4 = 189

Сначала рассмотрим первое уравнение:

a + aq + aq^2 = 21

Теперь выразим "a" через "q" из этого уравнения:

a(1 + q + q^2) = 21

a = 21 / (1 + q + q^2)

Теперь мы можем подставить это выражение для "a" во второе уравнение:

(21 / (1 + q + q^2))^2 + [(21 / (1 + q + q^2)) * q]^2 + [(21 / (1 + q + q^2)) * q^2]^2 = 189

Упростим это уравнение:

(21^2) / (1 + q + q^2)^2 + (21^2 * q^2) / (1 + q + q^2)^2 + (21^2 * q^4) / (1 + q + q^2)^2 = 189

Теперь умножим обе стороны на (1 + q + q^2)^2, чтобы избавиться от знаменателя:

21^2 + 21^2 * q^2 + 21^2 * q^4 = 189 * (1 + q + q^2)^2

Теперь давайте упростим уравнение:

441 + 441q^2 + 441q^4 = 189(1 + 2q + q^2)

Раскроем скобки справа:

441 + 441q^2 + 441q^4 = 189 + 378q + 189q^2

Теперь сгруппируем все члены слева и выразим уравнение в стандартной форме:

441q^4 + 441q^2 - 378q - 189 = 0

Теперь это уравнение можно решить численно или методом факторизации. Решив его, вы найдете значения "q" и "a".