Question

Найдите наименьшее значение x²+y²,если 2x+3y=5​

Answer 1

Найдем сначала наименьшее значение $\sqrt{x^2+y^2},$ то есть наименьшее расстояние от точек прямой 2x+3y=5 до начала координат; иными словами - длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую. Прямая пересекает оси координат в точках A(5/2;0) и B(0;5/3). Обозначим O(0;0); длина перпендикуляра будет совпадать с высотой треугольника ABO, опущенной из вершины прямого угла, а она может быть посчитана как произведение катетов, деленное на гипотенузу (эта формула следует из того, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а также половине произведения гипотенузы на эту высоту). Катеты равны 5/2 и 5/3, а гипотенуза находится по теореме Пифагора и равна $\frac{5\sqrt{13}}{6}.$ Поэтому высота равна $\frac{5/2\cdot 5/3}{5\sqrt{13}/6}=\frac{5}{\sqrt{13}}.$ А наименьшее значение суммы квадратов икса и игрека будет равно $\frac{25}{13}.$

Конечно, ответ можно было получить проще, но приведенный способ, на мой взгляд, самый наглядный.

Ответ: $\frac{25}{13}.$

Answer 2

Ответ:

25/13  

Пошаговое объяснение:

Красивое решение уже было ,  публикую алгебраическое :

Answer 3

Для нахождения наименьшего значения x² + y² при условии 2x + 3y = 5, мы можем воспользоваться методом наименьших квадратов.

Первым шагом можно выразить одну из переменных (например, x) через другую (y) с использованием уравнения 2x + 3y = 5:

2x = 5 - 3y x = (5 - 3y) / 2

Теперь мы можем подставить это выражение для x в x² + y², чтобы получить функцию одной переменной, которую нужно минимизировать:

f(y) = [(5 - 3y) / 2]² + y²

Теперь давайте найдем минимум этой функции, взяв ее производную и приравняв к нулю:

f'(y) = 2 * [(5 - 3y) / 2] * (-3/2) + 2y = -3(5 - 3y) + 2y

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-3(5 - 3y) + 2y = 0

-15 + 9y + 2y = 0

11y = 15

y = 15 / 11

Теперь, когда мы знаем значение y, мы можем найти соответствующее значение x:

x = (5 - 3y) / 2 = (5 - 3(15/11)) / 2 = (55 - 45) / 22 = 10 / 22 = 5 / 11

Теперь у нас есть значения x и y, которые минимизируют функцию x² + y² при условии 2x + 3y = 5. Чтобы найти минимальное значение x² + y², мы можем подставить эти значения:

x² + y² = (5/11)² + (15/11)² = 25/121 + 225/121 = 250/121

Таким образом, наименьшее значение x² + y² при условии 2x + 3y = 5 равно 250/121.