Question

Найдите интервал монотонного убывания функции у=x^3+1,5x^2+2; y=x^3-3x^2; y= 2x^3+7,5x^3-9x; y=2x^3-3x^2-12x+1 ​

Answer 1

___________________________________

Answer 2

Чтобы найти интервалы монотонного убывания функций, нужно найти производные этих функций и определить знаки производных на различных интервалах. Давайте начнем с каждой функции по отдельности:

1. Функция у = x^3 + 1.5x^2 + 2: Найдем производную этой функции: y' = 3x^2 + 3x

   Теперь определим интервалы, на которых эта производная положительна и отрицательна. Для этого решим неравенство: 3x^2 + 3x > 0

   Факторизуем его: 3x(x + 1) > 0

   Это неравенство выполняется на двух интервалах:

   • ∞ < x < -1 и x > 0

   Таким образом, функция убывает на интервалах (-∞, -1) и (0, +∞).

2. Функция y = x^3 - 3x^2: Найдем производную этой функции: y' = 3x^2 - 6x

   Определим интервалы, на которых эта производная положительна и отрицательна: 3x^2 - 6x > 0

   Факторизуем: 3x(x - 2) > 0

   Это неравенство выполняется на интервалах: x < 0 и 2 < x

   Функция убывает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞).

3. Функция y = 2x^3 + 7.5x^2 - 9x: Найдем производную этой функции: y' = 6x^2 + 15x - 9

   Определим интервалы, на которых эта производная положительна и отрицательна: 6x^2 + 15x - 9 > 0

   Можно решить это неравенство с помощью дискриминанта, но можно заметить, что оно эквивалентно следующему: 2x^2 + 5x - 3 > 0

   Факторизуем его: (2x - 1)(x + 3) > 0

   Неравенство выполняется на интервалах: x < -3/2 и x > 1/2

   Функция убывает на интервалах (-∞, -3/2) и (1/2, +∞).

4. Функция y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1: Найдем производную этой функции: y' = 6x^2 - 6x - 12

   Определим интервалы, на которых эта производная положительна и отрицательна: 6x^2 - 6x - 12 > 0

   Можно разделить это неравенство на 6: x^2 - x - 2 > 0

   Факторизуем его: (x - 2)(x + 1) > 0

   Неравенство выполняется на интервале: -1 < x < 2

   Функция убывает на интервале (-1, 2).

Таким образом, мы нашли интервалы монотонного убывания для каждой из данных функций.