Question

При каком значении a уравнение x^4 − 4x^2 + 4 − a = 0 имеет только два корня.

Answer 1

Ответ:

a=0 или a>4

Пошаговое объяснение:

x⁴−4x²+4−a=0

x⁴−4x²+4=a

(x²-2)²=a

1) a<0⇒ нет действительных корней

2) a=0

x²-2=0

x²=2

x=±√2 - два различных корня

3) a>0

x²-2=±√a

x²=2±√a

a) 0<a<4⇒2-√a>0

x²=2±√a

x=±√(2±√a)-четыре различных решения

b) a=4

x²=2±√a=2±2

x={±2; 0} -три различных решения

с) a>4⇒2-√a<0

x²=2+√a

x=±√(2+√a)-два различных решения

Можно ещё решить графическим способом

Answer 2

Уравнение x^4 − 4x^2 + 4 − a = 0 имеет только два корня, если его дискриминант равен нулю. Дискриминант квадратного трехчлена ax^2 + bx + c равен D = b^2 − 4ac. В данном случае, a = 1, b = −4 и c = 4 − a. Подставляя эти значения в формулу дискриминанта, получаем:

D = (−4)^2 − 4(1)(4 − a) = 16 − 16 + 4a = 4a

Чтобы дискриминант был равен нулю, необходимо, чтобы 4a = 0, то есть a = 0. Это единственное значение параметра a, при котором уравнение имеет только два корня. При a = 0 уравнение принимает вид x^4 − 4x^2 + 4 = 0, которое можно решить, выделив полный квадрат:

x^4 − 4x^2 + 4 = 0 (x^2 − 2)^2 = 0 x^2 − 2 = 0 x^2 = 2 x = ±√2

Таким образом, при a = 0 уравнение имеет два корня: x = √2 и x = −√2.

Ответ: уравнение x^4 − 4x^2 + 4 − a = 0 имеет только два корня при a = 0. Эти корни равны x = √2 и x = −√2.