Question

Найдите наибольшее значение функции y=(x−8)2(x−9)+1y на отрезке [-4; 8,5]

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Дана функция y=(x-8)²·(x-9)+1 на отрезке [-4; 8,5].

Находим производную от функции:

y' = ((x-8)²·(x-9)+1)' = ((x-8)²)'·(x-9)+(x-8)²·(x-9)'+0 = 2·(x-8)·(x-9)+(x-8)² =

= 2·x²-34·x+144+x²-16·x+64 = 3·x²-50·x+208.

Определим стационарные точки:

y' = 0 ⇔ 3·x²-50·x+208=0. Тогда

D = (-50)²-4·3·208 = 2500-2496 = 4 = 2²,

x₁=(50-2)/(2·3)=48/6=8∈[-4; 8,5],

x₂=(50+2)/(2·3)=52/6=8 4/6=8 2/3 ∉[-4; 8,5].

Вычислим значения функции при x = -4, x = 8 и x = 8,5:

y(-4) = (-4-8)²·(-4-9)+1 = 144·(-13)+1 = -1872+1 = -1871;

y(8) = (8-8)²·(8-9)+1 = 0·(-1)+1 = 0+1 = 1;

y(8,5) = (8,5-8)²·(8,5-9)+1 = 0,25·(-0,5)+1 = -0,125+1 = 0,875.

Наибольшее значение функции y=(x-8)²·(x-9)+1 на отрезке [-4; 8,5] :

y(8) = 1.

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции y = (x - 8)^2(x - 9) + 1 на отрезке [-4; 8.5], мы сначала найдем производную функции и определим её корни, которые будут точками экстремума. Затем, мы проверим значение функции в этих точках и выберем максимальное.

1. Найдем производную функции y по x: y'(x) = 2(x - 8)(x - 9) + (x - 8)^2

2. Приравняем производную к нулю и найдем корни: 2(x - 8)(x - 9) + (x - 8)^2 = 0

   Раскроем скобки и упростим уравнение: 2(x^2 - 17x + 72) + (x^2 - 16x + 64) = 0

   Упростим еще: 2x^2 - 34x + 144 + x^2 - 16x + 64 = 0

   3x^2 - 50x + 208 = 0

3. Решим квадратное уравнение, чтобы найти корни: Используя квадратное уравнение, мы получаем два корня: x1 ≈ 6.736 и x2 ≈ 10.264

4. Теперь мы должны проверить значение функции y в найденных корнях и на концах интервала [-4, 8.5]:

   y(-4) = (-4 - 8)^2(-4 - 9) + 1 = 4325 y(6.736) ≈ 200.66 y(8.5) = (8.5 - 8)^2(8.5 - 9) + 1 = 5.25 y(10.264) ≈ 210.88

Наибольшее значение функции на отрезке [-4, 8.5] достигается при x ≈ 10.264, и оно составляет около 210.88.