Question

Простое число,большее 1000 ,поделили на 6 .Чему может быть равным остаток ?

Answer 1

Ответ:

1 или 5

Пошаговое объяснение:

Запись x|y обозначает что число y делится на x.

Простое число большее чем 3 даёт в остатке при делении на 6 остаток 1 или 5. Доказательство:  

Если натуральное число делится без остатка на некоторое натуральное число отличное от себя и единицы, то оно составное.

При делении на 6 возможные остатки это 0; 1; 2; 3; 4; 5

Пусть данное число равно a=6k+r

r=0⇒a=6k⇒2|a, a>3⇒a-составное

r=2⇒a=6k+2=2(3k+1)⇒2|a, a>3⇒a-составное

r=3⇒a=6k+3=3(2k+1)⇒3|a, a>3⇒a-составное

r=4⇒a=6k+4=2(3k+2)⇒2|a, a>3⇒a-составное

Остаются только случаи остатков 1 или 5

P.S. Обратное утверждение не верно. То есть, если число большее 3 дает в остатке при делении на 6 числа 1 или 5, то оно не обязательно простое.

Answer 2

Когда простое число, большее 1000, делится на 6, остаток может быть равен только 1 или 5. Это связано с правилом деления на 6.

Правило деления на 6 гласит, что число делится на 6, если и только если оно делится и на 2, и на 3. Поскольку простое число больше 1000, оно не может делиться на 2, за исключением случая, когда оно само равно 2. Простое число больше 1000 не может быть равно 2, потому что 2 - единственное четное простое число, и оно меньше 1000.

Таким образом, единственный способ, которым простое число больше 1000 может делиться на 6, - это если оно делится на 3. И в этом случае остаток будет 0. Но если простое число больше 1000 не делится на 3, то остаток будет либо 1, либо 2 (поскольку 3 - это единственное нечетное простое число, которое больше 1000).

Теперь осталось учесть, что 2 не является остатком от деления на 6 для простых чисел больше 1000. Таким образом, остаток при делении простого числа, большего 1000, на 6, может быть только равен 1 или 5.