Question

Цена билета в аквапарк равна 6 руб. Ежедневно аквапарк посещают примерно 400 человек. Замечено, что при увеличении цены билета на каждые 50 коп. количество посетителей уменьшается в среднем на 20 человек. Какая цена билета позволит иметь максимальную выручку от эксплуатации аквапарка?

Answer 1

Пусть x - количество добавок к цене нашего билета  по 50 копеек.

Обозначим функцию f(x) = (6 + 0.5x) * (400 - 20x) = 2400 - 120x + 200 - 10x^2 = -10x^2 + 80x + 2400, которая будет характеризовать выручку.

Найдем производную: f'(x) = -20x + 80.

Найдем критические точки: f'(x) = 0 при x = 4. 4 - критическая точка.

f'(1) = -20 + 80 = 60. Производная больше нуля, значит функция возрастает на промежутке до 4.

f'(5) = -100 + 80 = -20. Производная меньше нуля, значит функция убывает на промежутке после 4.

График имеет вид, как показано на рисунке, откуда легко понять, что наибольшее ее значение достигается при x = 4. Значит, итоговая цена билета равна 6 + 0.5 * 4 = 6 + 2 = 8 (рублей)

Ответ: 8 рублей

Answer 2

Чтобы определить оптимальную цену билета, при которой выручка от эксплуатации аквапарка будет максимальной, вам следует провести анализ. Для этого нужно найти зависимость между ценой билета, количеством посетителей и общей выручкой.

Давайте представим, что цена билета составляет X рублей. Поскольку начальная цена билета равна 6 рублям, то изменение цены можно представить как (X - 6) рублей. За каждые 50 копеек (0.5 рубля) увеличения цены билета, количество посетителей уменьшается на 20 человек. То есть, для каждого увеличения цены на 0.5 рубля, количество посетителей уменьшится на 20.

Теперь можно записать формулу для количества посетителей в зависимости от цены билета:

Количество посетителей = 400 - 20 * (X - 6) / 0.5

Теперь, чтобы найти общую выручку, умножим количество посетителей на цену билета:

Выручка = X * (400 - 20 * (X - 6) / 0.5)

Теперь нам нужно найти значение X, при котором выручка будет максимальной. Для этого можно взять производную от этой функции по X, приравнять её к нулю и найти значение X:

d(Выручка)/dX = 0

Вычислите производную:

d(Выручка)/dX = 400 - 20 * (X - 6) / 0.5 - X * 20 / 0.5

Уравняйте производную в нуле и решите уравнение:

400 - 20 * (X - 6) / 0.5 - X * 20 / 0.5 = 0

Упростите уравнение:

400 - 40 * (X - 6) - 20X = 0

400 - 40X + 240 - 20X = 0

-60X + 640 = 0

-60X = -640

X = 640 / 60

X = 10.67

Таким образом, оптимальная цена билета для максимизации выручки составляет около 10.67 рублей. Так как цена билета должна быть в рублях и копейках, можно округлить эту цену до ближайшего значения в рублях и копейках, то есть 10.50 рублей.

Таким образом, цена билета в 10.50 рублей позволит иметь максимальную выручку от эксплуатации аквапарка.