Question

1)y"-y'-6y=0 2)y"+4y'+4y=0 3)y"-4y'+13y=0

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для решения дифференциальных уравнений второго порядка, таких как данные, мы можем использовать характеристический метод. Характеристический метод основан на предположении о виде решения в виде экспоненциальной функции и последующем нахождении характеристических корней уравнения. После нахождения характеристических корней, мы можем записать общее решение уравнения.

1) y" - y' - 6y = 0: Сначала найдем характеристические корни. Предположим, что решение имеет вид y(t) = e^(rt), где r - характеристический корень. Подставляя это предположение в уравнение, мы получаем: r^2 - r - 6 = 0

Далее решаем квадратное уравнение: (r - 3)(r + 2) = 0

Из этого уравнения получаем два характеристических корня: r1 = 3 и r2 = -2.

Теперь мы можем записать общее решение уравнения в виде: y(t) = c1 * e^(3t) + c2 * e^(-2t),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

2) y" + 4y' + 4y = 0: Также найдем характеристические корни для этого уравнения. Предположим, что решение имеет вид y(t) = e^(rt): r^2 + 4r + 4 = 0

Решая это уравнение, получаем: (r + 2)(r + 2) = 0

Из этого уравнения получаем один характеристический корень r = -2.

Общее решение уравнения будет следующим: y(t) = (c1 + c2t) * e^(-2t),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

3) y" - 4y' + 13y = 0: Найдем характеристические корни: r^2 - 4r + 13 = 0

Это квадратное уравнение не имеет вещественных корней, поскольку дискриминант отрицателен. Таким образом, характеристические корни будут комплексными числами. Мы можем записать их в виде: r = 2 - 3i и r = 2 + 3i,

где i - мнимая единица.

Общее решение уравнения будет следующим: y(t) = e^(2t) * (c1 * cos(3t) + c2 * sin(3t)),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Это дает вам общие решения для всех трех уравнений второго порядка. Вы можете использовать произвольные значения для постоянных c1 и c2, чтобы получить конкретные решения для каждого уравнения.