Question

Есть последовательность чисел. Первые 76 заданы, а дальше повторяются эти же, по порядку. Нужно доказать, что минимальный период этой последовательности является делителем 76...

Answer 1

Будем нумеровать члены последовательности с нуля.

Пусть наименьший период равен k и он не делится на 76. Разделим 76 на k с остатком:

$ak+b=76,\;a,b\in\mathbb N,\; b$

Возьмем произвольный натуральный x и разделим его с остатком на b:

$pb+q=x,\;p,q\in\mathbb N\cup\{0\},\; q$

Тогда член с номером x окажется равен члену с номером q:

$pb+q=p(76-ak)+q=p\cdot76-ap\cdot k+q$

(первые два слагаемых представляют целое число периодов — 76 и k).

Но тогда b — период последовательности, причём b < k, то есть k — не наименьший из всех возможных периодов. Противоречие.

Answer 2

Для доказательства, что минимальный период этой последовательности является делителем 76, мы можем воспользоваться теорией чисел и рассмотреть различные случаи, когда период может быть меньше, чем 76, и показать, что это невозможно.

Дано, что первые 76 чисел последовательности заданы и далее они повторяются по порядку. Пусть N - минимальный период этой последовательности. Если N = 1, то это означает, что последовательность состоит только из одного числа, и мы не имеем повторяющихся элементов. Таким образом, N должно быть больше 1.

Рассмотрим случай, когда N не является делителем числа 76. Это означает, что при делении 76 на N остаток не равен нулю, то есть 76 не делится на N без остатка.

Теперь давайте рассмотрим повторяющийся блок чисел длиной в N элементов в последовательности. Поскольку N не является делителем 76, блок не будет точной копией первых 76 чисел, и, следовательно, он не сможет заменить оригинальные 76 чисел в последовательности. Таким образом, при продолжении последовательности дальше блоки будут накладываться друг на друга, и мы не сможем получить точное повторение первых 76 чисел.

Следовательно, минимальный период этой последовательности должен быть делителем 76, так как это единственный способ обеспечить точное повторение первых 76 чисел. Таким образом, минимальный период N является делителем числа 76.

Таким образом, мы доказали, что минимальный период этой последовательности является делителем числа 76.