Question

Доказать теорему о сумме углов четырёхугольника для вогнутого случая​

Answer 1

Ответ:

Пусть {\displaystyle \Delta ABC} — произвольный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD. Сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Что и требовалось доказать.

Думаю так:)

Answer 2

Теорема о сумме углов четырёхугольника справедлива как для выпуклых, так и для вогнутых четырёхугольников. Для вогнутого четырёхугольника, можно доказать эту теорему следующим образом:

Пусть у нас есть вогнутый четырёхугольник ABCD. Мы хотим найти сумму всех его углов.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Внутренний угол BAC в этом треугольнике равен внутреннему углу BAD четырёхугольника ABCD, так как они имеют общую сторону AB. Таким образом, угол BAC равен углу BAD: ∠BAC = ∠BAD.

2. Аналогично рассмотрим треугольник ADC. Внутренний угол CAD в этом треугольнике равен внутреннему углу CDA четырёхугольника ABCD, так как они имеют общую сторону AD. Таким образом, угол CAD равен углу CDA: ∠CAD = ∠CDA.

3. Теперь, если мы сложим углы ∠BAC, ∠BAD, ∠CAD и ∠CDA, то получим сумму всех углов четырёхугольника ABCD:

∠BAC + ∠BAD + ∠CAD + ∠CDA = ∠BAD + ∠BAD + ∠CDA + ∠CDA = 2(∠BAD + ∠CDA).

4. Сумма углов треугольника BAC равна 180 градусам, поскольку это выпуклый треугольник. То есть ∠BAC + ∠BAD + ∠CAD = 180°.

5. Теперь мы можем выразить ∠BAD и ∠CDA из этого уравнения: ∠BAD = 180° - ∠BAC - ∠CAD и ∠CDA = 180° - ∠BAC - ∠CAD.

6. Подставим эти выражения в уравнение из пункта 3: 2(∠BAD + ∠CDA) = 2((180° - ∠BAC - ∠CAD) + (180° - ∠BAC - ∠CAD)) = 2(360° - 2(∠BAC + ∠CAD)) = 720° - 4(∠BAC + ∠CAD).

Таким образом, сумма всех углов четырёхугольника ABCD равна 720 градусам, независимо от того, выпуклый он или вогнутый.