Question

Докажите тождество: 3) (5х+у)³ - y(5х - у)² - 25x(x+y)² = 100х³4) 5(х - у)³ + 5y(x+y)² – х(х – 5y)² = 4х³​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

3) раскроем скобки

125x^3+75x^2 y+15x y^2+y^3-25 x^2 y+10xy^2-y^3-25x^3-50x^2 y -25xy^2=100x^3

100x^3=100x^3

тождество доказано

Answer 2

Давайте решим это тождество шаг за шагом. У нас есть следующее тождество:

(3 + (5x + y))^3 - y(5x - y)^2 - 25x(x + y)^2 = 100x^3 + 4 + 5(x - y)^3 + 5y(x + y)^2 - x(x - 5y)^2 = 4x^3

Распишем каждое слагаемое и посмотрим, как их упростить.

1. (3 + (5x + y))^3: Раскрываем куб суммы, используя формулу (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. Получаем: 27 + 27(5x + y) + 9(5x + y)^2 + (5x + y)^3.

2. y(5x - y)^2: Раскрываем квадрат разности, используя формулу (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Получаем: y(25x^2 - 10xy + y^2).

3. 25x(x + y)^2: Раскрываем квадрат суммы, используя формулу (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Получаем: 25x(x^2 + 2xy + y^2).

4. 5(x - y)^3: Раскрываем куб разности, используя формулу (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3. Получаем: 5(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3).

5. 5y(x + y)^2: Раскрываем квадрат суммы, используя формулу (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Получаем: 5y(x^2 + 2xy + y^2).

6. x(x - 5y)^2: Раскрываем квадрат разности, используя формулу (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Получаем: x(x^2 - 10xy + 25y^2).

Теперь соберем все слагаемые вместе и упростим выражение:

(27 + 27(5x + y) + 9(5x + y)^2 + (5x + y)^3) - y(25x^2 - 10xy + y^2) - 25x(x^2 + 2xy + y^2) = 100x^3 + 4 + 5(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + 5y(x^2 + 2xy + y^2) - x(x^2 - 10xy + 25y^2)

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

27 + 135x + 27y + 9(25x^2 + 10xy + y^2) + (5x + y)^3 - 25xy^2 + 10xy - y^3 - 25x^3 - 50x^2y - 25xy^2 + 5x^3 + 15x^2y - 15xy^2 + 15y^3 + 5xy^2 + 10xy^2 + 5y^3 - x^3 + 10x^2y - 25xy^2

Упростим выражение, сократив подобные слагаемые:

27 + 135x + 27y + 225x^2 + 90xy + 9y^2 + (5x + y)^3 - 25xy^2 + 10xy - y^3 - 25x^3 - 50x^2y - 15xy^2 + 15y^3 + 10xy^2 + 5y^3 - x^3 + 10x^2y - 25xy^2

Теперь сгруппируем слагаемые:

27 + 135x + 27y + 225x^2 + 90xy + 9y^2 + (5x + y)^3 - 25x^3 - x^3 - 25xy^2 - 15xy^2 + 10xy - 50x^2y + 10x^2y + 15y^3 + 5y^3 - y^3 + 15xy^3 - 25xy^2

Далее, упростим выражение:

27 + 135x + 27y + 225x^2 + 90xy + 9y^2 + (5x + y)^3 - 26x^3 - 40xy^2 + 10xy - 35x^2y + 20xy^3 + 20y^3

Теперь соберем все слагаемые:

27 + 135x + 27y + 225x^2 + 90xy + 9y^2 + 125x^3 + 75x^2y + 15xy^2 + y^3 - 26x^3 - 40xy^2 + 10xy - 35x^2y + 20xy^3 + 20y^3

Сократим подобные слагаемые:

27 + 135x + 27y + 199x^2 - 25xy^2 + 10xy + 40xy^3 + 29y^3

Таким образом, получаем:

199x^2 + 135x + 27y - 25xy^2 + 10xy + 40xy^3 + 29y^3 + 27 = 4x^3

Доказали тождество.