Question

Вычисление производной функции. 94√31 √x - 2arccot(x)

Answer 1

Ответ:       f '( x ) = 47√31/√x + 2/( 1 + x² ) .

Пошаговое объяснение:

f( x ) = 94√31 √x - 2arcctg x ;

f '( x ) = ( 94√31 √x - 2arcctg x )' =  ( 94√31 √x )' - ( 2arcctg x )' =

=  94√31 * 1/2√x - 2 * ( - 1/( 1 + x² ) ) = 47√31/√x + 2/( 1 + x² ) .

Answer 2

Для начала, нам понадобятся некоторые базовые правила дифференцирования:

1. Производная константы равна нулю: d/dx (C) = 0, где C - константа. 2. Производная функции вида f(x) = x^n (где n - константа) равна n*x^(n-1): d/dx (x^n) = n*x^(n-1). 3. Производная суммы и разности равна сумме и разности производных этих функций: d/dx (f(x) + g(x)) = d/dx (f(x)) + d/dx (g(x)), и аналогично для разности. 4. Производная произведения двух функций равна произведению производных этих функций, плюс произведение исходных функций: d/dx (f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x). 5. Производная частного двух функций равна (произведение производной первой функции на вторую минус произведение первой функции на производную второй функции), поделенное на квадрат второй функции: d/dx (f(x) / g(x)) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x).

Теперь применим эти правила для вычисления производной заданной функции:

Пусть f(x) = 94√31 + √x - 2arccot(x).

1. Производная первого слагаемого, 94√31, равна нулю, так как это константа.

2. Производная второго слагаемого, √x, равна (1/2) * x^(-1/2) = 1 / (2√x).

3. Производная третьего слагаемого, -2arccot(x), требует некоторых дополнительных шагов. Мы будем использовать правило дифференцирования композиции функций, где u(x) = -2arccot(x), v(x) = x, и подставим эти функции в правило:

d/dx (u(v(x))) = u'(v(x)) * v'(x).

Для первого множителя, u'(v(x)), мы применим правило дифференцирования для арккотангенса: d/dx (-2arccot(x)) = -2(d/dx (arccot(x))). Для этого нам понадобится использовать правило дифференцирования обратной тригонометрической функции: d/dx (arccot(x)) = -1 / (1 + x^2).

Таким образом, производная первого множителя, u'(v(x)), равна -2 * (-1 / (1 + x^2)) = 2 / (1 + x^2).

Для второго множителя, v'(x), это просто производная x, которая равна 1.

Таким образом, производная третьего слагаемого, -2arccot(x), равна (2 / (1 + x^2)) * 1 = 2 / (1 + x^2).

Теперь мы можем сложить все производные слагаемых и получить итоговую производную функции f(x):

f'(x) = 0 + 1 / (2√x) - 2 / (1 + x^2).

Таким образом, производная функции f(x) равна 1 / (2√x) - 2 / (1 + x^2).