Question

На 99 карточках написали числа 1,2...99, перемешали их разложили чистыми сторонами вверх и снова написали числа 1,2...99. Для каждой карточки сложили два еëчилаи 99 полученных сумм перемножили. Докажите что результат чëтен

Answer 1

Ответ:

Среди чисел 1, 2, . . . , 99 есть 50 нечетных и 49 четных. Это

значит, что на одной из карточек на обеих сторонах будут написаны

нечетные числа.

Answer 2

Рассмотрим произвольную карточку с числами a и b на ней. Мы знаем, что a + b = 99.

Тогда сумма чисел на карточке после переворота будет равна a + b + 99 = 99 + 99 = 198.

Теперь посмотрим на произведение сумм. Оно будет равно (a + b) * (a + b + 99).

Раскрыв скобки, получаем:

(a + b) * (a + b + 99) = a * (a + b + 99) + b * (a + b + 99)

= a^2 + ab + 99a + ba + b^2 + 99b

= a^2 + ab + ba + b^2 + 99a + 99b

= a^2 + b^2 + 2ab + 99(a + b)

= (a^2 + b^2 + 2ab) + 99(a + b).

Заметим, что a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2 = 99^2 = 9801. Также a + b = 99.

Тогда (a^2 + b^2 + 2ab) + 99(a + b) = 9801 + 99 * 99 = 9801 + 9801 = 19602.

Таким образом, произведение сумм на каждой карточке равно 19602, которое является четным числом.

Значит, результат (произведение сумм на всех карточках) также будет четным числом.