Question

Докажите по принципу математической индукции В ряд написано n чисел. Разрешается взять любой начальный отрезок ряда a1, a2, . . . , ak и переставить его числа в обратном порядке: ak, ak−1, . . . , a1. Докажите, что возможно расставить числа в порядке возрастания после применения нескольких таких операций

Answer 1

n=1: ряд уже упорядочен.

Пусть удалось упорядочить ряд для n=s.

Рассмотрим n=s+1.

Если максимальный элемент ряда находится на s+1-ом месте, то остается упорядочить меньшие s членов ряда - но как это сделать, уже известно.

Пусть теперь максимальный элемент ряда находится на j-ом месте, $1\leq j\leq s$. Тогда переставляем первые $j$ членов ряда, тем самым переместив максимальный элемент на 1ое место, а затем переставляем первые $s+1$ членов ряда, тем самым переместив максимальный элемент на s+1-ое место. А как поступать в таком случае, описано ранее.

Таким образом, ряд можно упорядочить и для n=s+1.

Значит, по индукции, утверждение верно $\forall\; n\in \displaistyle{\mathbb N}$.

Ч.т.д.

Answer 2

Предположим, что у нас есть ряд из n чисел, обозначенных как a1, a2, ..., an. Мы хотим доказать, что мы можем расставить эти числа в порядке возрастания после нескольких операций перестановки.

1. Базовый случай (n = 1): При n = 1 у нас есть всего одно число a1. Очевидно, что оно уже упорядочено, и нам не нужны дополнительные операции.

2. Индукционное предположение: Предположим, что утверждение верно для некоторого k, то есть мы можем упорядочить любой ряд из k чисел после нескольких операций перестановки.

3. Индукционный переход: Теперь докажем, что утверждение также верно для k + 1 числа. Рассмотрим ряд a1, a2, ..., ak, ak+1.

- Применим индукционное предположение к первым k числам (a1, a2, ..., ak). Мы можем упорядочить их после нескольких операций перестановки. - Теперь у нас есть отсортированный начальный отрезок, и у нас есть k+1 число, где k уже упорядочено. - Давайте рассмотрим k-е и (k+1)-е числа (ak и ak+1). Если ak <= ak+1, то они уже упорядочены, и нам ничего делать не нужно. - В противном случае, мы можем просто поменять местами ak и ak+1, получив упорядоченный ряд.

Таким образом, по принципу математической индукции мы доказали, что для любого n мы можем упорядочить ряд из n чисел после нескольких операций перестановки.