Question

Користуючись означенням, дослідіть функцію на монотонність y = - 2x ^ 2 + 3​

Answer 1

Розв'язання завдання додаю. Якщо учили похiднi, то по перший спосiб.

Answer 2

Функція спадає на проміжку (-∞;0)

Функція зростає на проміжку (0;+∞)

Answer 3

Щоб дослідити функцію на монотонність, давайте розглянемо функцію \(y = -2x^2 + 3\).

Функція має квадратичний член з коефіцієнтом перед ним рівним -2. Це означає, що відповідний парабола відкривається догори. Також є константний член +3, що зсуває графік вгору на 3 одиниці.

1. Знайдемо точки екстремуму (максимуму або мінімуму): Візьмемо похідну функції і прирівняємо до нуля для знаходження критичних точок.

\[y' = -4x\] \[0 = -4x\]

З отриманого рівняння отримуємо \(x = 0\). Підставимо це значення назад в оригінальну функцію, щоб знайти відповідне значення y: \[y(0) = -2(0)^2 + 3 = 3\]

Отже, критична точка має координати (0, 3).

2. Дослідження монотонності за допомогою другої похідної: Візьмемо другу похідну для дослідження характеру екстремуму:

\[y'' = -4\]

Оскільки \(y''\) відомий та від'ємний, то у критичній точці (0, 3) маємо локальний максимум.

3. Дослідження монотонності на інтервалах: Оскільки у критичній точці маємо локальний максимум, функція спадає перед цією точкою і зростає після неї. Таким чином, ми можемо сказати, що функція монотонно спадає на інтервалі \((-\infty, 0]\) і монотонно зростає на інтервалі \([0, +\infty)\).

Отже, функція \(y = -2x^2 + 3\) монотонно спадає на інтервалі \((-\infty, 0]\) і монотонно зростає на інтервалі \([0, +\infty)\).