Question

даны координаты вершин пирамиды A1( 7; 2 ; 2) A2 (5;7;7) A3(5;3;1) A4(2;3;7) . Найти: 1) длину ребра A1A2 ; 2) угол между рёбрами A1A2 и A1A4 ; 3) угол между ребром A1A4 и гранью A1 A2A3 ; 4) площадь грани A1 A2A3 ; 5) объём пирамиды; 6) уравнение прямой A1A2 ; 7) уравнение плоскости A1 A2A3 ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2A3 .

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды A1( 7; 2; 2) A2 (5; 7; 7) A3(5; 3; 1) A4(2; 3; 7) . Найти:

1) длину ребра A1A2.

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

a = √(X² + Y² + Z²).

Находим координаты вектора А1А2 по точкам A1( 7; 2; 2) A2 (5; 7; 7).

А1А2 = (5-7; 7-2; 7-2) = (-2; 5; 5).

Длина А1А2 = √((-2)² + 5² + 5²)  = √(4 + 25 + 25) = √54.

2) угол между рёбрами A1A2 и A1A4.

Находим координаты вектора А1А4 по точкам A1( 7; 2 ; 2) A4(2; 3; 7).

А1А4 = (2-7; 3-2; 7-2) = (-5; 1; 5).

Длина А1А4 = √((-5)² + 1² + 5²)  = √(25 + 1 + 25) = √51.

cos(A1A2_A1A4) = ((-2)*(-5)+5*1+5*5)/(√54*√51) = 40/√2754 = 0,762216.

Угол равен arccos0,762216 = 40,34006 градуса.

3) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3.

Надо составить уравнение плоскости А1А2А3.

Вектор А1А4 найден и равен (-5; 1; 5). Его модуль равен √51.

Находим вектор А1А3 = (5-7; 3-2; 1-2) = (-2; 1; -1).

Находим векторное произведение A1A2xA1A3.

i        j       k|       i       j

-2     5     5|     -2       5

-2      1     -1|    -2        1 = -5i - 10j - 2k - 2j - 5i + 10k = -10i - 12j + 8k.

Найден нормальный вектор грани А1А2А3: (-10; -12; 8).

Его модуль равен √((-10)² + (-12)² + 8²)  = √(100 + 144 + 64) = √308.

sin(A1A4_A1A2A3) = ((-5)*(-10)+1*(-12)+5*8)/(√51*√308) = 78/√15708 = 0,62235.

Угол равен 38,4879 градуса.

4) площадь грани A1A2A3.

Площадь грани равна половине модуля векторного произведения векторов А1А2 на А1А3.

S = (1/2)* √((-10)² + (-12)² + 8²) = (1/2)*√308 = 8,775 кв. ед.

5) объём пирамиды.

V = (1/6)(A1A2xA1A3)*A1A4.

A1A2xA1A3 = -10  -12  8

          A1A4 = -5     1    5

                       50 - 12 + 40 = 78.

V = (1/6)*78 = 13 куб. ед.

6) уравнение прямой A1A2.  

Точка А1( 7; 2; 2), вектор А1А2 = (-2; 5; 5).

Уравнение А1А2: (x - 7)/(-2) = (y - 2)/5 = (z - 2)/5.

7) уравнение плоскости A1 A2A3.

x−xAxabxacy−yAyabyacz−zAzabzac∣∣∣∣=0 ⇔ ∣∣∣∣x−7−2−2y−251z−25−1∣∣∣∣=0 ⇔⇔ (x−7)⋅∣∣∣515−1∣∣∣−(y−2)⋅∣∣∣−2−25−1∣∣∣+(z−2)⋅∣∣∣−2−251∣∣∣=0 ⇔⇔ (x−7)⋅(−10)−(y−2)⋅12+(z−2)⋅8=0 ⇔⇔ 5x+6y−4z−39=0;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2A3.

Точка A4(2; 3; 7), нормальный вектор плоскости А1А2А3:(-10; -12; 8) - он для высоты является направляющим вектором.

(x - 2)/(-10) = (y - 3)/(-12) = (z - 7)/8.

Answer 2

Задача: Найти характеристики пирамиды

В данной задаче нам даны координаты вершин пирамиды: - A1(7, 2, 2) - A2(5, 7, 7) - A3(5, 3, 1) - A4(2, 3, 7)

Мы должны найти следующие характеристики пирамиды: 1) Длину ребра A1A2 2) Угол между рёбрами A1A2 и A1A4 3) Угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3 4) Площадь грани A1A2A3 5) Объём пирамиды 6) Уравнение прямой A1A2 7) Уравнение плоскости A1A2A3 8) Уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3

Давайте посчитаем каждую характеристику по очереди.

1) Длина ребра A1A2

Длину ребра A1A2 можно найти с использованием формулы для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

Формула:

``` d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z