Question

Найти общий интеграл y'=(8x+5y)/(5x-2y)

Answer 1

Ответ:

Однородное уравнение решается в помощью замены переменной. y=x*t, dy=t*dx+x*dt.

Получаем уравнение с разделяющимися переменными:

t*dx+x*dt = (8+5t)/(5-2t)*dx, x*dt =((8+5t)/(5-2t) - t)*dx,

Переменные разделены: ((5-2t)/(8+2t^2)) *dt = dx/x. Можно брать интегралы от обеих частей. Интеграл по х табличный, по t - почти табличный. Справитесь?

Потом возвращайтесь к исходной переменной с помощью формулы t = у/х

Пошаговое объяснение:

надеюсь помогла ^^

Answer 2

Для нахождения общего интеграла данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных или метод интегрирующего множителя. В данном случае, я воспользуюсь методом интегрирующего множителя, так как он может быть более удобным.

Метод интегрирующего множителя

Для начала, давайте перепишем дифференциальное уравнение в стандартной форме:

y' = (8x + 5y) / (5x - 2y)

Введем интегрирующий множитель в виде функции μ(x, y):

μ(x, y) = e^∫(P(x)dx + Q(y)dy),

где P(x) и Q(y) - коэффициенты перед dx и dy соответственно. В нашем случае, P(x) = 8x + 5y и Q(y) = -(5x - 2y).

Вычислим интегралы P(x) и Q(y) и найдем производные по x и y соответственно:

∫(P(x)dx) = ∫((8x + 5y)dx) = 4x^2 + 5xy + C1,

∫(Q(y)dy) = ∫(-(5x - 2y)dy) = -5xy + y^2 + C2,

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Теперь найдем производную интегрирующего множителя по x:

∂/∂x(μ(x, y)) = ∂/∂x(e^∫(P(x)dx + Q(y)dy)) = e^∫(P(x)dx + Q(y)dy) * P(x) = (8x + 5y)e^(4x^2 + 5xy + C1 - 5xy + y^2 + C2) = (8x + 5y)e^(4x^2 + y^2 + C1 + C2).

Аналогично найдем производную интегрирующего множителя по y:

∂/∂y(μ(x, y)) = ∂/∂y(e^∫(P(x)dx + Q(y)dy)) = e^∫(P(x)dx + Q(y)dy) * Q(y) = -(5x - 2y)e^(4x^2 + y^2 + C1 + C2).

Теперь введем произведение исходного дифференциального уравнения на интегрирующий множитель:

(8x + 5y)/(5x - 2y) * (8x + 5y)e^(4x^2 + y^2 + C1 + C2) + μ(x, y) * y' = 0.

Упрощая выражение, получим:

(8x + 5y)^2 + μ(x, y) * (8x + 5y)/(5x - 2y) = 0.

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. Если μ(x, y) * (8x + 5y)/(5x - 2y) = 0, то это означает, что интегрирующий множитель μ(x, y) равен нулю. В этом случае наше исходное дифференциальное уравнение станет следующим:

(8x + 5y)^2 = 0.

Решением этого уравнения является единственная точка (0, 0).

2. Если (8x + 5y)^2 + μ(x, y) * (8x + 5y)/(5x - 2y) = 0 и μ(x, y) * (8x + 5y)/(5x - 2y) ≠ 0, то мы можем установить следующее равенство:

(8x + 5y)^2 + μ(x, y) * (8x + 5y)/(5x - 2y) = C,

где C - произвольная постоянная.

Это выражение представляет собой неявное общее решение исходного дифференциального уравнения.

Вот подробный ответ на ваш вопрос. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!