Question

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ℓ: (3;1;-1) x+5y+2=03х+4y+2z-8=0

Answer 1

Найдём направляющий вектор прямой как векторное произведение коэффициентов в уравнениях заданных плоскостей.

i        j        k|       i        j

1       5        0|      1        5

3      4        2|       3       4  =   10i + 0j + 4k - 2j - 0i - 15k = 10i - 2j - 11k.

Направляющий вектор n=(10; -2; -11).

Ответ: (x - 3)/10 = (y - 1)/(-2) = (z + 1)/(-11).

Answer 2

Чтобы составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку \( A \) и параллельной прямой \( l \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите направляющий вектор прямой \( l \):

Уравнение прямой \( l \) дано как \( 3x + 4y + 2z - 8 = 0 \). Это уравнение можно представить в виде \( Ax + By + Cz + D = 0 \), где \( A = 3 \), \( B = 4 \), \( C = 2 \), и \( D = -8 \).

Направляющий вектор прямой \( l \) равен коэффициентам перед переменными \( x, y, z \), то есть \( \vec{v} = (A, B, C) = (3, 4, 2) \).

2. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку \( A \):

Точка \( A \) дана как \( (3, 1, -1) \). Таким образом, вектор \( \vec{r} \), идущий из начала координат к точке \( A \), равен \( \vec{r} = (3, 1, -1) \).

3. Запишите параметрическое уравнение прямой:

Параметрическое уравнение прямой задается формулой:

\[ \vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{v} \]

где \( \vec{r_0} \) - вектор, соответствующий точке \( A \), \( \vec{v} \) - направляющий вектор прямой \( l \), а \( t \) - параметр.

В данном случае:

\[ \vec{r} = (3, 1, -1) + t(3, 4, 2) \]

Раскроем скобки:

\[ \vec{r} = (3 + 3t, 1 + 4t, -1 + 2t) \]

4. Составьте канонические уравнения прямой:

Канонические уравнения прямой можно получить, выражая параметр \( t \) через координаты \( x, y, z \). В данном случае, можно записать:

\[ \frac{{x - 3}}{{3}} = \frac{{y - 1}}{{4}} = \frac{{z + 1}}{{2}} \]

Это и есть канонические уравнения прямой, проходящей через точку \( A \) и параллельной прямой \( l \).