Question

У=х/х+3 исследуйте функцию​

Answer 1

y = x/(x + 3)

Исследовать функцию

|. Область определения:

x + 3 ≠ 0

x≠ -3

D (ƒ) = ℝ | x ≠ -3

||. Область значений:

E (ƒ) = ℝ

|||. Чётность:

ƒ (-x) = -x/(-x + 3) = -(x/x - 3)

ƒ (-x) ≠ - ƒ (x)

ƒ (-x) ≠ ƒ (x)

⇒ функция не является ни чётной, ни нечётной

|V. Нули функции:

ƒ (x) = 0

x/(x + 3) = 0

x = 0

V. Промежутки знакопостоянства:

x/(x + 3) = 0

x = 0

⇒ ƒ (x) > 0 на (0; +∞)

ƒ (x) < 0 на (-∞; 0)

V|. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума:

ƒ’ (x) = ((x)’•(x + 3) - x • (x + 3)’)/(x + 3)² = (x + 3 - x)/(x² + 6x + 9) = 3/(x² + 6x + 9)

lim ƒ’ (x) = -3

x —> 0

ƒ (x) ↑ на (-∞; -3) ⋃ (-3; + ∞)

V||. Точки перегиба:

ƒ’’ (x) = (3’ • (x +3)² - 3 • ((x + 3)²)’)/((x + 3)²)² = (-3 • (2x + 6))/(x + 3)⁴ = (-6x - 9)/(x + 3)⁴ = (-3(2x + 3))/(x + 3)⁴

Точек перегиба нет, так как ƒ (x) возрастающая

Answer 2

Конечно, я готов помочь вам исследовать функцию \( f(x) = \frac{x}{x+3} \). Давайте пройдем через основные шаги исследования функции.

1. Нахождение области определения:

Функция определена для всех значений \( x \), кроме тех, которые делают знаменатель равным нулю. Таким образом, область определения функции - это все значения \( x \), кроме -3.

2. Нахождение области значений:

Область значений функции зависит от области определения. Поскольку функция рациональная, ее область значений будет включать все действительные числа, за исключением значений, при которых знаменатель равен нулю (то есть -3).

3. Нахождение нулей функции:

Нули функции — это значения \( x \), при которых \( f(x) = 0 \). Решим уравнение \( \frac{x}{x+3} = 0 \). Ответ: \( x = 0 \).

4. Нахождение вертикальных и горизонтальных асимптот:

Функция имеет вертикальную асимптоту при \( x = -3 \), так как это значение, при котором знаменатель становится равным нулю. Горизонтальной асимптоты нет, так как степень числителя и знаменателя одинакова.

5. Исследование знаков функции:

Для этого рассмотрим знаки числителя и знаменателя в различных интервалах:

- Если \( x < -3 \), то \( x+3 < 0 \), а следовательно, \( f(x) < 0 \). - Если \( -3 < x < 0 \), то \( x+3 > 0 \), и \( f(x) > 0 \). - Если \( x > 0 \), то \( x+3 > 0 \), и \( f(x) > 0 \).

6. Поведение функции при стремлении к бесконечности:

При \( x \to -\infty \) и \( x \to +\infty \) функция стремится к нулю.

Таким образом, мы провели исследование функции \( f(x) = \frac{x}{x+3} \), включающее область определения, область значений, нули, асимптоты и поведение функции на различных интервалах.