Question

точка K принадлежит ребру AD куба ABCDA1B1C1D1. Постройте прямую пересечения плоскостей B1D1K и A1C1B. ​

Answer 1

Ответ:

KL линия пересечения плоскостей ABC и B1EF

B1. Проведем отрезок B1K

Из прямоугольного треугольника KBB1 найдем B1K

Сторона B1B=a

Сторона KB=3a/4 (сторона AB равна 4 частям, а KB составляет 3 части из 4)

По т.Пифагора

B1K^2=KB^2+BB1^2

B1K^2=(0,75a)^2+a^2

B1K^2=0,5625a^2+a^2

B1K^2=1,5625a^2

B1K=1,25a

B2. BCLK-прямоугольная трапеция

Проведем высоту LT=BC=a

BT=x

TK=3x-x=2x=0,5a (сторона AB равна 4 частям, а ТК составляет 2 части из 4)

Из прямоугольного треугольника TLK найдем LK

LK^2=TK^2+TL^2

LK^2=(0,5a)^2+a^2

LK^2=0,25a^2+a^2

LK^2=1,25a^2

LK=√5a/4

Answer 2

Для построения прямой пересечения плоскостей \(B1D1K\) и \(A1C1B\) необходимо найти их уравнения.

Плоскость \(B1D1K\) проходит через три точки: \(B1\), \(D1\) и \(K\). Уравнение плоскости можно записать в виде:

\[Ax + By + Cz + D = 0.\]

Для нахождения коэффициентов \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\), подставим координаты точек \(B1\), \(D1\) и \(K\) в это уравнение и решим систему уравнений.

Плоскость \(A1C1B\) проходит через три точки: \(A1\), \(C1\) и \(B\). Также запишем уравнение плоскости в виде:

\[A'x + B'y + C'z + D' = 0.\]

Теперь, имея уравнения обеих плоскостей, мы можем найти их прямую пересечения. Прямая пересечения двух плоскостей определяется их направляющими векторами, которые можно найти как векторное произведение нормальных векторов этих плоскостей.

После нахождения направляющего вектора прямой пересечения, выберем любую точку на этой прямой. Так как точка \(K\) принадлежит ребру \(AD\), возьмем её координаты. Теперь мы можем записать параметрическое уравнение прямой:

\[ \frac{{x - x_0}}{{a}} = \frac{{y - y_0}}{{b}} = \frac{{z - z_0}}{{c}}, \]

где \((x_0, y_0, z_0)\) - координаты выбранной точки на прямой, а \(a\), \(b\), \(c\) - компоненты направляющего вектора прямой.

Это параметрическое уравнение прямой пересечения плоскостей \(B1D1K\) и \(A1C1B\).