Question

Решите уравнение |x+3| - |2x+1| = 5. 100 балов

Answer 1

|x+3| - |2x+1| = 5

раскрытие модулей

                          |x + 3|     |2x + 1|

x <= -3              -(x + 3)    -(2x + 1)

-3<x< -1/2           x + 3     -(2x + 1)

x >= -1/2             x + 3       2x + 1

1. x <= -3            

-(x + 3)    +(2x + 1) = 5

-x - 3 + 2x + 1 = 5

x = 7 нет

2. -3<x< -1/2        

 x + 3    + (2x + 1) = 5

x + 3 + 2x + 1 = 5

3х = 1

x = 1/3  нет

3. x >= -1/2            

x + 3  -     2x - 1 = 5

х = -3 нет

Решений нет

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение:

\[ |x + 3| - |2x + 1| = 5 \]

Для удобства, давайте рассмотрим четыре возможных случая в зависимости от знаков \(x + 3\) и \(2x + 1\):

1. Если \(x + 3 \geq 0\) и \(2x + 1 \geq 0\), то уравнение принимает вид: \[ (x + 3) - (2x + 1) = 5 \] Раскроем модули и решим уравнение: \[ x + 3 - 2x - 1 = 5 \] \[ -x + 2 = 5 \] \[ -x = 3 \] \[ x = -3 \]

2. Если \(x + 3 < 0\) и \(2x + 1 \geq 0\), то уравнение принимает вид: \[ -(x + 3) - (2x + 1) = 5 \] Раскроем модули и решим уравнение: \[ -x - 3 - 2x - 1 = 5 \] \[ -3x - 4 = 5 \] \[ -3x = 9 \] \[ x = -3 \]

3. Если \(x + 3 \geq 0\) и \(2x + 1 < 0\), то уравнение принимает вид: \[ (x + 3) + (-(2x + 1)) = 5 \] Раскроем модули и решим уравнение: \[ x + 3 - 2x - 1 = 5 \] \[ -x + 2 = 5 \] \[ -x = 3 \] \[ x = -3 \]

4. Если \(x + 3 < 0\) и \(2x + 1 < 0\), то уравнение принимает вид: \[ -(x + 3) + (-(2x + 1)) = 5 \] Раскроем модули и решим уравнение: \[ -x - 3 - 2x - 1 = 5 \] \[ -3x - 4 = 5 \] \[ -3x = 9 \] \[ x = -3 \]

Таким образом, уравнение имеет единственное решение: \(x = -3\).