Question

Докажите что для любых неотрицательных чисел a и b имеет место неравенство 4(a^3+b^3) больше (a+b) С решением пожалуйста (я хочу понять как решать)

Answer 1

Поскольку числа a и b неотрицательны, то запишем неравенство о средних:

(a+b)/2 >= √ab

(a+b)^2 >= 4ab

-3ab>= -3(a+b)^2/4

Откуда:

a^2 - ab + b^2  = (a+b)^2 - 3ab >= (a+b)^2 - 3(a+b)^2/4 = (a+b)^2/4

a^2 - ab + b^2 >= (a+b)^2/4

Пусть a+b≠0, то есть числа a и b не могут быть одновременно равны 0.

Поскольку a и b неотрицательны, то можно умножить обе части последнего неравенства на 4(a+b)

4(a+b)(a^2 - ab + b^2 )>= (a+b)^3

4(a^3 + b^3) >= (a+b)^3

Проверим отдельно случай, когда a=b=0.

В этом случае возникает равенство:

0 = 0

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте докажем данное неравенство для неотрицательных чисел \(a\) и \(b\).

Имеется неравенство: \[4(a^3 + b^3) > (a + b)^3\]

Прежде чем начать доказательство, воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним кубическим: \[\frac{x + y}{2} \leq \sqrt[3]{\frac{x^3 + y^3}{2}}\]

Применим это неравенство к числам \(a\) и \(b\): \[\frac{a + b}{2} \leq \sqrt[3]{\frac{a^3 + b^3}{2}}\]

Теперь возведем обе стороны неравенства в куб: \[\left(\frac{a + b}{2}\right)^3 \leq \frac{a^3 + b^3}{2}\]

Умножим обе стороны на 8, чтобы избавиться от знаменателя: \[4(a + b)^3 \leq 8(a^3 + b^3)\]

Теперь возвращаемся к изначальному неравенству и подставим полученное неравенство вместо \(4(a + b)^3\): \[4(a^3 + b^3) > (a + b)^3\] \[8(a^3 + b^3) > 4(a + b)^3\]

Таким образом, мы доказали, что \(8(a^3 + b^3) > 4(a + b)^3\).

Также можно привести пример, когда это неравенство выполняется, например, при \(a = 1\) и \(b = 0\): \[4(1^3 + 0^3) > (1 + 0)^3\] \[4 > 1\]

Таким образом, неравенство верно для всех неотрицательных чисел \(a\) и \(b\).