Question

Знайдіть усі значення параметра а, за яких рівняння має рівно один розв'язок у дійсних числах. СРООООООЧНОООООО 100 балов!!! 4ˣ+a*2^(x+2)=2^(x-1)+2a

Answer 1

Ответ:

a > 0

Пошаговое объяснение:

Сгруппируем подобные члены:

$4^{x}+a*2^{x+2}=2^{x-1}+2a\\4^{x}+4a*2^{x}-\frac{1}{2}2^{x}-2a=0\\2^{2x}+2^x(4a-\frac{1}{2})-2a=0$

Сделаем замену $t=2^{x}>0$

С учетом замены задача переформулируется следующим образом: найти все значения параметра a, при которых квадратное уравнение имеет один положительный корень.

$t^{2}+t(4a-\frac{1}{2})-2a=0$

По теореме Виета $x_{1}=-4a,x_{2}=\frac{1}{2}$

Чтобы у исходного уравнения был единственный корень необходимо, чтобы в уравнении с заменой был один положительный корень. Т.к. второй корень уже положителен, то первый должен быть отрицательным:

$-4a0$

Answer 2

Давайте розглянемо рівняння і знайдемо значення параметра \( a \), при яких воно має рівно один розв'язок у дійсних числах.

Рівняння: \[ 4^x + a \cdot 2^{x+2} = 2^{x-1} + 2a \]

Щоб рівняння мало рівно один розв'язок, ми можемо використовувати властивості функцій та алгебри для його спрощення. Спробуємо це зробити:

\[ 4^x + a \cdot 2^{x+2} = 2^{x-1} + 2a \]

Враховуємо, що \(4^x = (2^2)^x = 2^{2x}\): \[ 2^{2x} + a \cdot 2^{x+2} = 2^{x-1} + 2a \]

Згрупуємо всі члени з \(2^x\): \[ 2^{2x} + a \cdot 2^{x+2} - 2^{x-1} - 2a = 0 \]

Тепер звернемо увагу на обидва доданки з \(2^{x}\) і спробуємо врахувати їх: \[ 2^{2x} - 2^{x-1} + a \cdot 2^{x+2} - 2a = 0 \]

Тепер, якщо ми представимо \(2^{x-1}\) як \(2^x \cdot 2^{-1}\), отримаємо: \[ 2^{2x} - 2^x \cdot 2^{-1} + a \cdot 2^{x+2} - 2a = 0 \]

Після цього можемо згрупувати члени з \(2^x\): \[ 2^{2x} - 2^x \cdot \frac{1}{2} + a \cdot 2^{x+2} - 2a = 0 \]

Тепер зробимо спрощення: \[ 2^{2x} - 2^{x+1} + a \cdot 2^{x+2} - 2a = 0 \]

Тепер можемо використати факторизацію: \[ 2^{x+1} (2^x - 1) + a \cdot 2^{x+2} - 2a = 0 \]

Тепер згрупуємо члени за \(2^x\): \[ 2^{x+1} (2^x - 1) + 2^{x+2} (a - 2a) = 0 \]

Спростимо далі: \[ 2^{x+1} (2^x - 1) + 2^{x+1} (a - 2a) = 0 \]

Тепер можемо використати факторизацію знову: \[ 2^{x+1} (2^x - 1 + a - 2a) = 0 \]

\[ 2^{x+1} (a - 2a + 2^x - 1) = 0 \]

\[ 2^{x+1} (a - 2a + 2^x - 1) = 0 \]

\[ 2^{x+1} (-a + 2^x - 1) = 0 \]

Тепер ми маємо добуток двох виразів, і його можна рівняти нулю, якщо хоча б один з цих виразів рівний нулю: \[ 2^{x+1} = 0 \quad або \quad -a + 2^x - 1 = 0 \]

Однак \(2^{x+1}\) не може бути рівним нулю для жодного значення \(x\) (оскільки це завжди буде додатнім числом), тому розглянемо другий вираз:

\[ -a + 2^x - 1 = 0 \]

Тепер розв'яжемо це рівняння для \(a\):

\[ a = 2^x - 1 \]

Отже, рівняння має рівно один розв'язок у дійсних числах, коли \(a = 2^x - 1\).