Question

Знайти суму 1/(1*2)+1/(2*3)+⋯+1/(2015*2016)

Answer 1

Ответ:     2015/2016 .

Пошаговое объяснение:

1/(1*2)+1/(2*3)+⋯+1/(2015*2016) = 1/1 - 1/2 + 1/2- 1/3+ 1/3 - ... + 1/2015 - 1/2016 =

= 1/1 - 1/2016 = 2015/2016 .

Answer 2

Этот ряд является гармоническим телескопическим рядом, и его можно упростить с использованием частичной дробей. Рассмотрим выражение 1/(n * (n + 1)), которое является членом ряда:

\[ \frac{1}{n \cdot (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \]

Теперь давайте применим это к каждому члену ряда:

\[ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{2015 \cdot 2016} \]

\[ = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2015} - \frac{1}{2016}\right) \]

Многие члены ряда сокращаются, и остаются только первый и последний члены:

\[ = 1 - \frac{1}{2016} \]

Таким образом, сумма данного ряда равна \( 1 - \frac{1}{2016} \).