Question

Розв'язати нерівність (4/9)^x >(2/3)^82) 2^х<128​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$>\bigg(\frac{2}{3} \bigg)^8\\\\\\\bigg(\frac{2}{3}\bigg )^{2x}>\bigg(\frac{2}{3} \bigg)^8$

0 < 2/3 < 1

меняем знак

2x < 8

x < 4

Ответ:  х ∈ (-∞; 4)

2^x < 128

2^x < 2^7

2 > 1

x < 7

Ответ: x ∈ (-∞; 7)

Answer 2

Щоб вирішити дану нерівність, спробуємо розкрити основи ступенів та спростити вирази. Нерівність має вигляд:

\[\left(\frac{4}{9}\right)^x > \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{82}{2}} + 2^x < 128\]

Розглянемо кожен член окремо.

1. Спростимо праву частину:

\[\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{82}{2}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{41}\]

2. Замінимо усі основи ступенів, щоб вони були однаковими. Можна помножити обидві частини на \(3^{2x}\), оскільки \(3^{2x} \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^x\):

\[3^{2x} \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x > 3^{2x} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{41} + 3^{2x} \cdot 2^x < 3^{2x} \cdot 128\]

3. Замінимо \(\left(\frac{4}{9}\right)^x\) на \(\left(\frac{2}{3}\right)^x\):

\[3^{2x} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x > 3^{2x} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{41} + 3^{2x} \cdot 2^x < 3^{2x} \cdot 128\]

4. Підставимо \(u = \left(\frac{2}{3}\right)^x\):

\[3^{2x} \cdot u > 3^{2x} \cdot u^{41} + 3^{2x} \cdot 2^x < 3^{2x} \cdot 128\]

5. Перенесемо все в одну частину:

\[3^{2x} \cdot u - 3^{2x} \cdot u^{41} - 3^{2x} \cdot 2^x > 0\]

6. Зауважте, що \(3^{2x}\) є додатнім числом, і ми можемо його скасувати:

\[u - u^{41} - 2^x > 0\]

7. Підставимо \(u = \left(\frac{2}{3}\right)^x\):

\[\left(\frac{2}{3}\right)^x - \left(\frac{2}{3}\right)^{41x} - 2^x > 0\]

Тепер у нас є нерівність, яку ми можемо розв'язати. Зверніть увагу, що це не проста задача, і розв'язок може бути знайдений тільки числовим методом або за допомогою комп'ютера.