Question

Найти производную функции в точке x=4 f(x)=x^2 / x+2​

Answer 1

Ответ:

$f'(4)=\frac{8}{9}$

Пошаговое объяснение:

$f'(x)=(\frac{x^2}{x+2})'=\frac{(x^2)'*(x+2)-x^2(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{2x(x+2)-x^2*1}{(x+2)^2}=\frac{2x^2+4x-x^2}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}=\frac{x(x+4)}{(x+2)^2}$

x=4

$f'(4)=\frac{4(4+4)}{(4+2)^2}=\frac{32}{36}=\frac{8}{9}$

Answer 2

Конечно, давайте найдем производную функции \(f(x) = \frac{x^2}{x + 2}\) в точке \(x = 4\).

Для начала, выразим функцию так, чтобы было удобнее брать производные: \[ f(x) = \frac{x^2}{x + 2} = x^2 \cdot (x + 2)^{-1} \]

Теперь воспользуемся правилом производной произведения и правилом производной частного.

Правило производной произведения: \[ (uv)' = u'v + uv' \]

Правило производной частного: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Применим эти правила к нашей функции.

Пусть \(u = x^2\) и \(v = x + 2\).

Тогда: \[ u' = 2x \] (производная \(x^2\)) \[ v' = 1 \] (производная \(x + 2\))

Теперь применяем правило производной частного: \[ f'(x) = \frac{(2x)(x + 2) - (x^2)(1)}{(x + 2)^2} \]

Сокращаем и упрощаем: \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - x^2}{(x + 2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 + 4x}{(x + 2)^2} \]

Теперь подставим \(x = 4\) в полученное выражение для производной: \[ f'(4) = \frac{4^2 + 4 \cdot 4}{(4 + 2)^2} \] \[ f'(4) = \frac{16 + 16}{36} \] \[ f'(4) = \frac{32}{36} \] \[ f'(4) = \frac{8}{9} \]

Таким образом, производная функции \(f(x) = \frac{x^2}{x + 2}\) в точке \(x = 4\) равна \(\frac{8}{9}\).