Question

Дан треугольник АВС с вершинами А(4; 6; 5), В( 6; 9; 4), С( 2; 10; 10). а) С помощью скалярного произведения найдите угол ∠BCA. б) С помощью векторного произведения найдите площадь этого треугольника.

Answer 1

Ответ:

1. Найдем координаты вектора СA:

СA = (4–2 ); 6-10;5-10 ) = (2; - 4; -5).

Найдем координаты вектора CB:

CB = (6 – 2; 9–10;4-10) = (4; -1; -6).

2

Скалярное произведение векторов СA и СB равно:

CA * CB = 2*4 + (-4*-1) + (-5*-6) = 8+4+30=42

Найдем длину вектора CA:

|CA| = √(2²+ (- 4)²+ (-5)² = √(4 +16+25) = √45.

Найдем длину вектора CB:

|CB| = √4²+ (-1)²+ (-6)²= √(16+1+36) = √53.

1. Таким образом, косинус угла между векторами CA и CB равен:

cos∠B = cos∠(CA, CB) = 42/(√45 * √53) = 42/(√9 * √5* √53) = 42/(3√265) = =14/√265

∠BCA = arccos14/√265.

Answer 2

а) Чтобы найти угол ∠BCA, воспользуемся скалярным произведением двух векторов. Найдем вектора AB и AC:

AB = B - A = (6 - 4, 9 - 6, 4 - 5) = (2, 3, -1) AC = C - A = (2 - 4, 10 - 6, 10 - 5) = (-2, 4, 5)

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:

AB · AC = 2 * (-2) + 3 * 4 + (-1) * 5 = -4 + 12 - 5 = 3

Скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними. Таким образом:

AB · AC = |AB| * |AC| * cos(∠BCA)

где |AB| и |AC| - модули векторов AB и AC. Разделим обе части уравнения на |AB| * |AC|:

cos(∠BCA) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|) = 3 / (sqrt(2^2 + 3^2 + (-1)^2) * sqrt((-2)^2 + 4^2 + 5^2)) = 3 / (sqrt(14) * sqrt(45)) = 3 / (sqrt(630)) = 3 / 25

Теперь найдем угол ∠BCA, используя обратную функцию косинуса:

∠BCA = arccos(3 / 25)

б) Чтобы найти площадь треугольника ABC с помощью векторного произведения, найдем векторное произведение векторов AB и AC:

AB x AC = ((3 * 5) - (-1 * 4), (-1 * (-2)) - (5 * 2), (2 * 4) - (3 * (-2))) = (23, 12, 14)

Модуль этого векторного произведения равен площади треугольника ABC, поделенной на 2:

S = |AB x AC| / 2 = sqrt(23^2 + 12^2 + 14^2) / 2 = sqrt(1109) / 2

Таким образом, площадь треугольника ABC равна sqrt(1109) / 2.