Question

Найдите количество целых решений уравнений √3x+√2y=√180​

Answer 1

Ответ:

(0;90),(60;0) - 2 целых решения.

Пошаговое объяснение:

√3x+√2y=√180

ОДЗ: x,y>=0

Домножим обе части уравнения на √5

√15x+√10y=√900 = 30

√15x+√10y = 30

Предположим, что одно из чисел 15x и 10y является полным квадратом, а второе нет, но тогда √15x+√10y равно сумме рационального и иррационального числа, то есть является иррациональным, однако число 30 целое, то есть такое невозможно.

Предположим теперь, что оба числа 15x и 10y не являются полными квадратами.

Покажем, что √15x+√10y не может быть рациональным числом.

Предположим, что √15x+√10y - рационально, но тогда из-за рациональности числа 15x-10y получаем, что:

√15x-√10y = (15x-10y)/(√15x+√10y) - рациональное число.

Но тогда сумма чисел:

(√15x-√10y) + (√15x+√10y) = 2√15x - рациональна.

Однако 15x не является полным квадратом, то есть                                      2√15x -иррациональное число.

Мы пришли к противоречию, такое невозможно.

Поскольку число 30 целое, то из доказанного выше следует, что

15x и 10y не могут одновременно не быть полными квадратами.

Как видим, остается вариант, что оба числа 15x и 10y  одновременно являются полыми квадратами.

То есть можно записать, что:

15x= a^2

10y = b^2

a,b - неотрицательные целые числа. (в результате взятия радикала получаем положительное число)

Тогда уравнение принимает вид:

a+b = 30

Но поскольку 15 = 5*3 и 10 = 5*2, а числа 5 и 2 простые, то верно что

a = 15n

b = 10k

n,k - неотрицательные целые числа.

15n+10k = 30

3n + 2k = 6

Откуда n<=2, при этом n = 1 не подходит, ибо 3 не делится на 2, то есть имеем 2 варианта:

1. n = 0; k = 3

a=0

15x=0

x1 = 0

b = 30

10y = 30^2 = 900

y1 = 90

2. n = 2; k = 0

a = 30

15x = 30^2 = 900

x2 = 900/15 = 60

b=0

10y = 0

y2 = 0

Answer 2

Для нахождения количества целых решений уравнения √3x + √2y = √180, давайте сначала преобразуем его.

Уравнение можно переписать в виде: √3x = √180 - √2y

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: (√3x)² = (√180 - √2y)²

Упростим левую сторону: 3x = 180 - 2√360y + 2y

Теперь выразим x: 3x = 180 - 2√360y + 2y 3x = 180 - 2√(36 * 10)y + 2y 3x = 180 - 12√10y + 2y 3x = 180 - (12√10 - 2)y

Теперь разделим обе стороны на 3: x = 60 - (4√10 - 2/3)y

Теперь давайте рассмотрим условия для целых решений. Чтобы x и y были целыми числами, то (4√10 - 2/3)y также должно быть целым числом.

Из этого следует, что y должно быть кратным 3, так как 2/3 - это рациональная дробь, и чтобы (4√10 - 2/3)y было целым числом, y должно быть кратным 3.

Теперь мы знаем, что y = 3k для некоторого целого числа k.

Подставим это значение y обратно в уравнение x: x = 60 - (4√10 - 2/3)y x = 60 - (4√10 - 2/3)(3k) x = 60 - (4√10 - 2)k

Таким образом, x также будет целым числом, если k является целым числом.

Таким образом, количество целых решений этого уравнения зависит от количества целых значений k. Если k может принимать бесконечное количество целых значений, то и количество целых решений будет бесконечным. Так как k - целое число, количество целых решений бесконечно.