Question

Y'''-5y"+6y' = (x-1)^2 решить

Answer 1

Дальше добей уже сам

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно использовать характеристическое уравнение. Уравнение имеет вид:

\[ Y'' - 5Y' + 6Y = (x - 1)^2 \]

1. Характеристическое уравнение: \[ m^2 - 5m + 6 = 0 \]

Это квадратное уравнение, которое можно разложить на множители: \[ (m - 2)(m - 3) = 0 \]

Отсюда получаем два корня характеристического уравнения: \( m_1 = 2 \) и \( m_2 = 3 \).

2. Общее решение однородной части уравнения: \[ Y_{\text{одн}}(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} \]

где \( C_1 \) и \( C_2 \) - произвольные постоянные.

3. Находим частное решение неоднородной части уравнения: Чтобы найти частное решение, можно воспользоваться методом вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид: \[ Y_{\text{ч}}(x) = A(x - 1)^2 + B(x - 1) + C \]

4. Находим производные: \[ Y_{\text{ч}}'(x) = 2A(x - 1) + B \] \[ Y_{\text{ч}}''(x) = 2A \]

5. Подставляем в неоднородную часть уравнения и находим коэффициенты: \[ 2A - 5(2A(x - 1) + B) + 6(A(x - 1)^2 + B(x - 1) + C) = (x - 1)^2 \]

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) и находим значения \(A\), \(B\) и \(C\).

6. Подставляем найденные значения в частное решение: \[ Y_{\text{ч}}(x) = A(x - 1)^2 + B(x - 1) + C \]

7. Общее решение: Общее решение уравнения получается сложением однородной и неоднородной частей: \[ Y(x) = Y_{\text{одн}}(x) + Y_{\text{ч}}(x) \]

Где \(Y_{\text{одн}}(x)\) - общее решение однородной части, а \(Y_{\text{ч}}(x)\) - частное решение неоднородной части.

Это общий метод решения уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и неоднородной частью. В данном случае конкретные вычисления могут потребовать дополнительных шагов в зависимости от конкретной формы неоднородности.