Question

Доказать, что 3³⁽ⁿ⁺¹⁾ - 2³⁽ⁿ⁺¹⁾ кратно 19

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Докажем гипотезу с помощью метода математической индукции.

1. База индукции при $n=0, 3^{3*(0+1)}-2^{3*(0+1)}=27-8=19$ кратно 19

2. Шаг индукции. Предположим, что при $n=k,3^{3(k+1)}-2^{3(k+1)}$ кратно 19. Докажем, что при при $n=k+1,3^{3(k+2)}-2^{3(k+2)}$ также будет кратно 19.

$3^{3(k+2)}-2^{3(k+2)}=3^{3}*3^{3(k+1)}-2^{3}*2^{3(k+1)}=(3^{3}-2^{3})*3^{3(k+1)}-2^{3}*(3^{3(k+1)}-2^{3(k+1)})$

Уменьшаемое делится на 19, т.к. $(3^{3}-2^{3})=19$, а вычитаемое делится на 19, т.к. по предположению индукции $(3^{3(k+1)}-2^{3(k+1)})$ делится на 19.

Следовательно и разность делится на 19.

Answer 2

Чтобы доказать, что выражение \(3^{(n+1)} - 2^{(n+1)}\) кратно 19 для всех натуральных чисел \(n\), мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый случай:

При \(n = 1\): \[3^{(1+1)} - 2^{(1+1)} = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5\] 5 не делится на 19.

Шаг индукции:

Допустим, что утверждение верно для некоторого \(k\), т.е. \[3^{(k+1)} - 2^{(k+1)}\equiv 0 \pmod{19}\]

Теперь докажем, что из этого следует, что утверждение верно и для \(k+1\): \[3^{((k+1)+1)} - 2^{((k+1)+1)}\]

Мы можем выразить \(3^{((k+1)+1)}\) как \(3 \cdot 3^{(k+1)}\) и \(2^{((k+1)+1)}\) как \(2 \cdot 2^{(k+1)}\). Тогда наше выражение примет вид: \[3 \cdot 3^{(k+1)} - 2 \cdot 2^{(k+1)}\]

Теперь воспользуемся предположением индукции: \[3^{(k+1)} - 2^{(k+1)}\equiv 0 \pmod{19}\]

Мы можем вынести общий множитель: \[3 \cdot 3^{(k+1)} - 2 \cdot 2^{(k+1)} = 3 \cdot (3^{(k+1)} - 2^{(k+1)})\]

Таким образом, получаем, что \(3^{((k+1)+1)} - 2^{((k+1)+1)}\) делится на 19. Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел \(n\).

Таким образом, \(3^{(n+1)} - 2^{(n+1)}\) кратно 19 для всех натуральных чисел \(n\).