Question

Для функции f (x) = 2/x^3 - 4x найдите первообразную, которая проходит через точку А (1;6)

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle y(x)=-2x^2-\frac{1}{x^2} +9$

Пошаговое объяснение:

определение:

• функция F(x) на заданном промежутке называется первообразной для функции f(x) , для всех x из этого промежутка, если F'(x)=f(x);
• операция нахождение первообразной для функции называется интегрированием.

Найдем всё семейство первообразных:

$\displaystyle F(x) = \int {\bigg(\frac{2}{x^3} -4x\bigg )} \, dx =2\int {\frac{1}{x^3} } \, dx -4\int{x} \, dx =2*\bigg (-\frac{1}{2x^2} \bigg)-4*\frac{x^2}{2} +C=\\\\\\=-\frac{1}{x^2} -2x^2+C$

Теперь нам надо найти одну из этого семейства, график которой проходит через точку А(1; 6).

Это значит, что нам нужно найти константу С.

Подставим координаты точки А в уравнение первообразной.

$\displaystyle 6=-2*1^2-\frac{1}{1^2} +C;\qquad 6=-2-1+C;\qquad \boldsymbol {C=9}$

Теперь мы можем записать конкретную первообразную, график которой проходит через точку А(1; 6).

$\displaystyle y(x)=-2x^2-\frac{1}{x^2} +9$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x) = 2/x^3 - 4x, которая проходит через точку A(1;6), мы будем использовать интеграл.

Первообразная функции f(x) - это функция F(x), такая что производная функции F(x) равна f(x). В нашем случае, мы ищем функцию F(x), производная которой равна 2/x^3 - 4x.

Для начала, найдем первообразную для каждого слагаемого функции f(x) по отдельности.

Первообразная для 2/x^3: Для этого слагаемого мы можем использовать формулу для интеграла от степенной функции: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C,

где C - произвольная постоянная.

В нашем случае, n = -3, поэтому: ∫ 2/x^3 dx = (2/(−3+1)) * x^(-3+1) + C = -x^(-2) + C1.

Первообразная для -4x: Для этого слагаемого мы можем использовать формулу для интеграла от линейной функции: ∫ ax dx = (a/2) * x^2 + C,

где C - произвольная постоянная.

В нашем случае, a = -4, поэтому: ∫ -4x dx = (-4/2) * x^2 + C = -2x^2 + C2.

Теперь мы можем найти первообразную функции f(x) = 2/x^3 - 4x, сложив найденные первообразные для каждого слагаемого: F(x) = -x^(-2) - 2x^2 + C,

где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.

Чтобы найти значение постоянной C, которая обеспечит прохождение функции через точку A(1;6), мы можем подставить значения x = 1 и y = 6 в уравнение F(x) и решить уравнение: 6 = -1^(-2) - 2(1)^2 + C.

Решая это уравнение, мы найдем значение постоянной C: 6 = -1 - 2 + C, 6 = -3 + C, C = 9.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 2/x^3 - 4x, которая проходит через точку A(1;6), равна: F(x) = -x^(-2) - 2x^2 + 9.