Question

Найти решение рекуррентного соотношения, удовлетворяющее данным начальным условием:

Answer 1

Ответ:

$w_n=5^n\left(\dfrac{1}{36} n-\dfrac{29}{1296}\right)+\dfrac{166}{405}\cdot (-4)^n+\dfrac{49}{80}$

Пошаговое объяснение:

Характеристическое уравнение:

$\lambda^2+3\lambda-4=0\Leftrightarrow \lambda=-4, \lambda =1$

Тогда общее решение однородного соотношения имеет вид

$w_n^{oo}=C_1(-4)^n+C_2$

Частное решение ищем в виде $w_n^{r_H}=5^n(A n+B)$:

$5^{n+2}(A( n+2)+B)+3\cdot 5^{n+1}(A( n+1)+B)-4\cdot5^n(A n+B)=5^n(n+1)$

$> </p> <p><img src=$

Общее решение имеет вид

$w_n=5^n\left(\dfrac{1}{36} n-\dfrac{29}{1296}\right)+C_1(-4)^n+C_2$

Определяем значения констант:

$\left\{\begin{array}{c}\left(-\dfrac{29}{1296}\right)+C_1+C_2=1\\ 5\left(\dfrac{1}{36} -\dfrac{29}{1296}\right)-4C_1+C_2=-1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}\left(-\dfrac{29}{1296}\right)+C_1+C_2=1\\ \dfrac{5}{36} -\dfrac{29\cdot 4}{1296}-5C_1=-2\end{array}\right. \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}C_1=\dfrac{166}{405}\\ C_2=\dfrac{49}{80}\end{array}\right.$

Answer 2

Для решения рекуррентного соотношения сначала нам нужно определить его вид и выразить его в явном виде.

Данное начальное условие означает, что нам даны первые два члена последовательности, и мы должны найти остальные.

Давайте предположим, что данное рекуррентное соотношение имеет вид: f(n) = af(n-1) + bf(n-2)

где f(n) - n-ный член последовательности, a и b - некоторые константы.

Используя данное начальное условие, мы можем записать: f(1) = a*f(0) + b*f(-1) f(2) = a*f(1) + b*f(0)

В нашем случае, дано: f(1) = 2 f(2) = 4

Подставляя данные значения в уравнения, мы получаем: 2 = a*f(0) + b*f(-1) 4 = 2a + b*f(0)

Чтобы решить эту систему уравнений и найти значения a и b, нам потребуется дополнительная информация о последовательности.

Пожалуйста, предоставьте дополнительные условия или уточните задачу, чтобы мы могли решить рекуррентное соотношение.