Question

Докажите ,что сумма четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 дает остаток 2

Answer 1

n-1, n, n+1, n+2 - четыре последовательных натуральных числа.

Их сумма n-1+n+n+1+n+2= 4n+2

При делении числа 4n+2 на 4 неполное частное равно n, остаток равен 2. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Чтобы доказать, что сумма четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 даёт остаток 2, можно воспользоваться методом математической индукции.

Для начала, рассмотрим первые несколько последовательных натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

Видно, что сумма первых четырех чисел (1 + 2 + 3 + 4) равна 10, а 10 при делении на 4 даёт остаток 2.

Теперь предположим, что для любого натурального числа k сумма четырех последовательных натуральных чисел, начиная с k, даёт остаток 2 при делении на 4. То есть:

k + (k+1) + (k+2) + (k+3) ≡ 2 (mod 4)

Теперь докажем, что утверждение верно и для k + 1. Суммируем четыре последовательных натуральных числа, начиная с k + 1:

(k+1) + (k+2) + (k+3) + (k+4) = 4k + 10 = 4(k+2) + 2

Получается, что сумма четырех последовательных натуральных чисел, начиная с k + 1, также даёт остаток 2 при делении на 4.

Таким образом, мы показали, что утверждение верно для первых четырех натуральных чисел (1, 2, 3, 4), и если оно верно для некоторого числа k, то оно верно и для k + 1. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех последовательных натуральных чисел.