Question

5. Знайти відстань від точки А(-4; 3) до прямої, що проходить через точки М(-1;2) Т(3;-1).

Answer 1

Дана точка А(-4; 3) и точки М(-1;2), Т(3;-1), через которые должна пройти прямая.

Надо найти расстояние от точки А до прямой МТ.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C|    

             √(A² + B²)  

Для решения по этой формуле надо составить уравнение МТ в общем виде.

Вектор МТ = (3-(-1); -1-2) = (4; -3).

Составляем каноническое уравнение прямой МТ:

(x + 1(=)/4 = (y - 2)/(-3).

Преобразуем его в общее уравнение.

-3х - 3 = 4у - 8

Получаем: 3х + 4у - 5 = 0.

Здесь коэффициенты равны: А = 3, В = 4.

Подставим в формулу данные:

d = |3·(-4) + 4·3 + (-5)|

          √(3² + 4²)

 =   |-12 + 12 - 5|

       √(9 + 16)

 =    5    

    √25      = 1

Answer 2

Для того чтобы найти расстояние от точки A(-4, 3) до прямой, проходящей через точки M(-1, 2) и T(3, -1), вы можете воспользоваться формулой для расстояния между точкой и прямой в двумерном пространстве.

Формула для расстояния (d) от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0 выглядит следующим образом:

d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)

В данном случае, вы можете найти уравнение прямой, проходящей через точки M(-1, 2) и T(3, -1), используя метод нахождения уравнения прямой через две точки:

1. Найдем наклон (A) прямой:

A = (yT - yM) / (xT - xM) = (-1 - 2) / (3 - (-1)) = (-3) / 4 = -3/4

2. Теперь мы можем использовать одну из точек (например, M(-1, 2)) и коэффициент A, чтобы найти коэффициент B:

B = -A * xM + yM = -(-3/4) * (-1) + 2 = 3/4 + 2 = 11/4

3. Теперь мы знаем уравнение прямой:

Ax + By + C = (-3/4)x + (11/4)y + C = 0

4. Чтобы найти C, подставим координаты одной из точек, например, M(-1, 2):

(-3/4)(-1) + (11/4)(2) + C = 3/4 + 22/4 + C = 25/4 + C = 0

Теперь найдем C:

C = -25/4

Итак, уравнение прямой, проходящей через точки M(-1, 2) и T(3, -1), выглядит следующим образом:

(-3/4)x + (11/4)y - 25/4 = 0

Теперь мы можем использовать данное уравнение для вычисления расстояния от точки A(-4, 3) до этой прямой. Подставим координаты точки A в формулу для расстояния:

d = |(-3/4)(-4) + (11/4)(3) - 25/4| / √((-3/4)^2 + (11/4)^2)

d = |(3) + (33/4) - 25/4| / √((9/16) + (121/16))

d = |(12/4) + (33/4) - 25/4| / √((130/16))

d = |(20/4)| / √(130/16)

d = (5) / (√(130)/4)

Чтобы упростить ответ, можно умножить числитель и знаменатель на 4:

d = (5 * 4) / (√(130))

d = 20 / (√(130))

Таким образом, расстояние от точки A(-4, 3) до прямой, проходящей через точки M(-1, 2) и T(3, -1), составляет 20 / (√(130)) единиц. Это приближенное значение, которое можно выразить в виде десятичной дроби, если необходима более точная оценка.