Question

Задача на теорию вероятностей При однократном испытании некоторое событие A может произойти с вероятностью 0,36. Проведено 420 испытаний. Найти вероятность того, что событие A произойдет не менее 140 раз, но не более 172 раз.

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Интегральна теоремма Лапласа

Р(m1<m<m2)=Ф(х2)-Ф(х1)

х=(m-np)/√npq

n=420, p=0.36, q=1-p=0.64

m1=140, m2=172

npq=420×0.36×0.64=96,768

√npq=9,8370727353

x1=(140-151,2)/9,837=-1,1385500851, Ф(х1)=-0,0517

x2=(172-151,2)/9,837=2,1144501581, Ф(х2)=0,4821

Р(140<m<172)=0,4821+0,0517=0,5338

Answer 2

Для решения данной задачи используем биномиальное распределение, так как у нас есть серия независимых испытаний, в каждом из которых событие может произойти с постоянной вероятностью.

Пусть \( p \) - вероятность события A в одном испытании, \( n \) - количество испытаний, а \( x \) - количество раз, которое событие A произойдет. Тогда вероятность \( P(X = x) \) задается формулой биномиального распределения:

\[ P(X = x) = C_n^x \cdot p^x \cdot (1 - p)^{n - x} \]

где \( C_n^x \) - количество сочетаний из \( n \) по \( x \), \( C_n^x = \frac{n!}{x!(n-x)!} \).

В данной задаче \( p = 0,36 \), \( n = 420 \), \( x \) должно быть от 140 до 172.

Теперь найдем вероятность того, что событие A произойдет не менее 140 раз, но не более 172 раз:

\[ P(140 \leq X \leq 172) = P(X \leq 172) - P(X < 140) \]

\[ P(X \leq 172) = \sum_{i=0}^{172} C_{420}^i \cdot 0,36^i \cdot (1 - 0,36)^{420 - i} \]

\[ P(X < 140) = \sum_{i=0}^{139} C_{420}^i \cdot 0,36^i \cdot (1 - 0,36)^{420 - i} \]

Рассчитаем эти значения, используя соответствующие формулы. Однако, вычисления могут быть сложными, поэтому часто используют статистические таблицы, программы или калькуляторы для биномиального распределения.